A la recherche des extrêmes


LE PROBLÈME H164 de Diophante.fr

Diophante donne à Zig le nombre entier z > 4 et à Puce le nombre entier p > 4 puis il demande à chacun d’eux de tracer
sur le recto puis sur le verso d’une feuille de papier respectivement z et p points de sorte que trois points quelconques ne sont jamais sur la même droite.
Sur le recto, chacun trace le maximum possible de quadrilatères convexes et sur le verso le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes.
Q1 Zig constate qu’il a tracé au total 45 quadrilatères de plus que Puce. Déterminez z et p en justifiant vos réponses.
Donnez des exemples de configurations obtenues par les deux comparses.
Q2 Cher lecteur, avec un point de plus que Zig, déterminez le plus petit nombre possible de quadrilatères convexes que vous pouvez tracer.




ANIMATION

Cette animation permet d'observer la variation des nombres de quadrilatères convexes selon la configuration des points.

  Les discrets triangles et cercle du fond sont là pour faciliter le positionnement des points.
  Le non alignement de trois points n'est pas vérifié. /!\ Le lecteur y veillera.

CHOISIR
    - Le nombre de points à tracer avec le bouton adéquat.
    - Mode MANUEL pour tracer les quadrilatères convexes un à un en cliquant le bouton fléché.
    - Mode AUTO étudie la figure et donne le nombre de quadrilatères convexes avec les points donnés.

    - CLIQUER le bouton GO pour lancer l'animation.

    - Le nombre de points, de quadrilatères possibles et de quadrilatères CONVEXES est affiché.

Le numéro du quadrilatère tracé est indiqué.
Le bouton RAZ permet de tout réinitialiser.

La VITESSE d'exécution est réglable en mode SIMULATION.

   PLEIN ECRAN

 


ANALYSE


Les maximums sont obtenus lorsque les points sont cocycliques.

Pour un nombre de points inférieur à 12, le nombre minimal de quadrilatères convexes est obtenu en choisissant l'option 'triangles'.
Dans ce cas, les points sont placés aux sommets des triangles équilatéraux discrètement tracés sur le fond de l'animation.

Essayer de déplacer ces points pour obtenir d'autres dispositions donnant un minimum de quadrilatères convexes.

Le nombre minimal de triangles est ensuite obtenu avec la suite : http://oeis.org/A014540
0, 0, 0, 0, 1, 3, 9, 19, 36, 62, 102, 153, 229, 324, 447, 603, 798, 1029, 1318,
1657, 2055, 2528, 3077, 3699, 4430, 5250, 6180


Une explication complète se trouve ici dans le document pdf :
H164.pdf

Et plusieurs solutions sont proposées chez Diophante.


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