Même loi, même espérance

Le problème Sur l'idée du G199 de Diophante.fr

Sur l'intervalle [0,1], on choisit au hasard* successivement n points, indépendamment les uns des autres, d'abscisses respectives U1 ,U2,....Un
On considère les deux variables aléatoires discrètes X et Y suivantes :
- X est l'indice de la variable Ui qui pour la première fois est strictement supérieure à la variable Ui-1 qui la précède.
- Y est l'indice de la variable Ui telle que pour la première fois la somme des variables U1 à Ui est strictement supérieure à 1.
Démontrer que les deux variables X et Y ont même loi de probabilités et calculer leur espérance mathématique.

* Nota: loi de distribution uniforme des variables Ui sur [0,1].

ANIMATION

Dans l'animation

- CHOISIR d'abord le problème à modéliser : la variable aléatoire X ou Y. Utiliser les flèches du bouton a ucentre de l'écran.
  Cliquer le bouton GO ensuite.

- Choisir le mode d'exécution : MANUEL, AUTOmatique ou ULTRA Rapide.

En mode MANUEL,
      Le bouton fléché lance un nouveau tirage dans l'expérience en cours.
    jusqu'à ce qu'on réalise la contrainte définie dans le problème choisi.
   -> le bouton CONTINUER lance une nouvelle expérience.

En mode AUTO,
- le déroulement se fait de façon automatique, chaque tirage est modélisé et visible.

En mode ULTRA rapide,
- les calculs effectués mais les tirages ne sont pas visibles ceci afin d'accélérer la procédure.
   Utiliser ce mode pour de très nombreuses expériences.

- Le bouton RAZ réinitialise complètement les choix.

- Enfin dans les deux cas, on peut moduler la vitesse d'exécution.



ANALYSE et résultats

On se rend que l'espérance pour les deux problèmes
est le nombre de Neper : e ~ 2.71828182846...

Essayer de faire un maximum d'observations avant d'aller ci-dessous pour en savoir un peu plus :
chez Diophante ICI.

DÉMONSTRATION mathématique



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