Les parcours platoniciens de la coccinelle et de la fourmi
Deux insectes se baladent sur un icosaèdre et un dodécaèdre.


"La vie c'est une boîte de chocolats, on ne sait jamais sur quoi on va tomber".        Forrest Gump 1994
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Le problème

G194 Parcours platoniciens***
avec Diophante.fr   

Deux structures métalliques qui ont respectivement la forme d'un icosaèdre régulier et d'un dodécaèdre régulier sont suspendues à un fil par l'un de leurs sommets. Les deux structures s'inscrivent dans des sphères de même rayon égal à 30 cm.
Coccinella Septempunctata est installée au sommet le plus haut de la première et Formicida Lasius Niger au sommet le plus haut de la deuxième.
Les deux bestioles décident au même moment de se promener en suivant les arêtes de leur habitacle,la coccinelle à la vitesse uniforme de 20 cm par minute et la fourmi à la vitesse uniforme de 32 cm par minute. Chaque fois que l'une ou l'autre arrive à un sommet, elle choisit l'une quelconque des arêtes qui partent de ce sommet avec une égale probabilité, quitte à faire marche arrière. Quand elles parviennent au sommet le plus bas, elles s'arrêtent pour faire une pause avant de recommencer une nouvelle promenade.
Déterminer l'écart (en minutes et secondes) qui sépare la durée moyenne de leurs parcours.

 

ANIMATION avec les solides 3D
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La même animation est réalisée en bas de la page, avec des déplacements visualisés sur un graphe planaire.

Note sur la représentation et les vitesses et durées réelles
Pour des raisons évidentes, les durées des déplacements sont modifées pr rapport au temps réel.

Cependant, les proportions entre les durées et les déplacements sont rigoureusement respectées.
Ainsi, dans la représentation, les arêtes ne paraissent pas isométriques. MAIS elles le sont dans la réalité.
Aussi dans les deux animations, la durée du parcours d'une arête est constante quelle que soit sa longueur sur la représentation 'aplanie'.
C'est ainsi que l'on peut observer des accélérations, selon la longueur apparente de ces arêtes.

- Lorsque le bouton ' simulation insectes ' est coché,
  --> on peut suivre les déplacements, arête par arête de chacun des deux insectes sur son polyèdre.
- Lorsque ce même bouton est décoché,
  --> on peut obtenir les résultats très rapidement pour de nombreux parcours (jusqu'à 50 000).
       Nous obtenons alors une bonne espérance pour les nombres d'arêtes parcourues et la durée des parcours.

- Choisir le nombre d'expériences à réaliser pour obtenir. Plus le nombre est grand et plus les résultats sont significatifs.

- On peut modifier la vitesse d'exécution.
  Cela ne modifiera pas les durées réelles des parcours. Seule l'exécution sera plus ou moins rapide.


ATTENTION : penser à appuyer la touche ENTREE après avoir modifié le nombre d'expériences.

PLEIN ECRAN


SOLUTION et EXPLICATION

Je vais découper chaque solide par niveaux :
-> 0 le sommet, 1 le suivant…
-> Nous avons 3 niveaux pour l’icosaèdre et 5 niveaux pour le dodécaèdre.


Icosaèdre et coccinelle avec une vitesse de 20 cm par minute

Soit Pn , le nombre d’arêtes parcourues en moyenne par la coccinelle pour aller du niveau n, vers le bas de l’icosaèdre.

Pour chaque niveau, la coccinelle a une chance sur 5 de passer d’un sommet à l’un de ses voisins.

Graphe planaire de l’icosaèdre

Le niveau 0 représente le haut de l’icosaèdre et
le niveau 3 représente le bas du solide.


Le graphe planaire respecte les relations de voisinage des sommets
mais ne respecte pas l'isométrie des arêtes.

p0 = 1 + 1/5 (5 p1) = 1 + p1
p1 = 1 + 1/5 (p0 + 2p1 + 2p2 )
p2 = 1 + 1/5 (2p1 + 2p2 + p3 )
et enfin
p3 = 0

En remontant les équations, nous obtenons
p2 = 5/3 + 2/3 p1 puis p1 = 5 + 3/5
p0

ET finalement
p0 = 15

En fonction du rayon R du cercle circonscrit,
le côté de l’icosaèdre mesure a = R / sin (2π/5).

La coccinelle fait un parcours moyen de
15*a = 15 *a ~ 15* 30 /sin (2π/5)
soit environ
473.16 cm qu’elle parcourt en environ (473.16 / 20) minutes.

Pour la coccinelle, durée d’environ 23.658 minutes
soit environ
23
minutes et 39.48 secondes.


Icosaèdre et coccinelle avec une vitesse de 20 cm par minute

Mêmes notations que précédemment.

Pour chaque niveau, la fourmi a une chance sur 3 de passer d’un sommet à l’un de ses voisins.

Graphe planaire du dodécaèdre

Le niveau 0 représente le haut de l’icosaèdre et
le niveau 5 représente le bas du solide.

p0 = 1 + 1/3 (3p1) = 1 + p1
p1 = 1 + 1/3 (p0 + 2p2 )
p2 = 1 + 1/3 (p1 + p2 + p3 )
p3 = 1 + 1/3 (p2 + p3 + p4 )
p4 = 1 + 1/3 (2p3 + p5 )
p5 = 0

En remontant les équations, nous obtenons
p3 = 3 + 3/4 p2
puis p2 = 24/5 + 4/5 p1
puis
p1= 9 + 5/7 p0

ET finalement p0 = 35

En fonction du rayon R du cercle circonscrit,
le côté du dodécaèdre mesure
a = 2R / φ ;
avec φ ~ 1.618

La fourmi fait un parcours moyen de
35*a ~ 35* 2*30 / φ
qu’elle parcourt en environ
23.4166 minutes.

Pour la fourmi, durée d’environ 23.4166 minutes
soit environ
23 minutes et presque 25 secondes.

La différence entre les deux est d’un peu plus de 14 secondes.

 



ANIMATION avec les solides représentés à l'aide d'un graphe planaire
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(1)

 

PLEIN ECRAN


Un peu plus avec Diophante.fr


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