Ensembles de nombres



Les ensembles de nombres et leurs dénominations classiques

N est l'ensemble des entiers naturels : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
Nous comptons des objets avec les entiers naturels.
Cependant certains mathématiciens n'incluent pas le zéro fruit d'une longue et profonde réflexion mathématique pas vraiment naturelle.
On peut résoudre dans N, des équations comme x - 5 = 0 mais pas x + 5 = 0.


Z
est l'ensemble des entiers relatifs, il contient les entiers naturels et leurs opposés.
Z = {... ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
On peut résoudre dans Z, des équations comme x + 5 = 0 mais pas 2x + 5 = 0.

D est l'ensemble des nombres décimaux.
Un nombre décimal PEUT s'écrire comme quotient d'un entier (naturel ou relatif) avec une puissance dix au dénominateur.
Il se présente souvent écrit avec une virgule et un nombre de chiffres finis après la virgule : on dit qu'il a une partie décimale finie.
Exemples :
8,6 ou 86/10 ;
5/1 car 5/1 = 50/10 = 500/100 ;
-1,634 car- 1,634 = -1634/1000 ;
Ne pas se fier à la seule présentation du nombre.

Q est l'ensemble des nombres rationnels (on dit aussi fractionnaires).
Un nombre rationnel PEUT s'écrire sous la forme d'un Quotient de deux nombres entiers ou relatifs.
Si on l'écrit avec une virgule, la partie décimale présente une période qui d'ailleurs peut être de longueur 0, (car les décimaux sont un cas particulier des rationnels et en font donc partie).
Se méfier toutefois des résultats des calculatrices car la période peut excéder le nombre de chiffres, affichable sur la machine.
Exemple :
12/37 est un nombre rationnel et présente une période de longueur 3 dans sa partie décimale : 3,243243...
109/407923 est bien un nombre rationnel mais la période est trop longue pour être visible sur une calculatrice.

On peut résoudre dans Q, des équations comme 2x + 5 = 0 mais pas x² - 2 = 0.

I est l'ensemble des nombres Irrationnels.
Ce sont les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de quotient de deux nombres relatifs.
Certains sont bien connus comme le nombre π qui intervient entre autres dans le calcul du périmètre du cercle et de l'aire d'un disque.
Le nombre d'Euler (ou constante de Neper) noté e est irrationnel.
Nous avons également certaines racines carrées comme ou ou .
Cependant la racine carrée de 4 est un nombre entier : 2 et n'est pas irrationnelle.

R est l'ensemble des nombres réels.
Il contient tous les ensembles précédents.
Notons que les irrationnels sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels.
On peut résoudre dans R, des équations comme x² - 2 = 0 mais pas x² + 2 = 0.

Cette dernière équation n'aura de solution que dans l'ensemble des nombres imaginaires ou complexes, dont la notation est
C.
C contient R et tous les autres ensembles.

Nous avons les inclusions suivantes de l'ensemble le plus petit N au plus grand R .


Cherchons...

Dans l'animation suivante, il s'agit de retrouver le plus petit ensemble de nombres auquel appartient un nombre aléatoire construit par l'ordinateur.

Notations
2^3 signifie 2 puissance 3 et vaut donc 2 fois 2 fois 2 soit 8

sqrt(8) signifie racine carrée de 8.
2*3 signifie 2 multiplié par 3 et vaut donc 6

Un petit chrono permet de contrôler la vitesse d'exécution de l'exercice et le taux de réussite est affiché.
ATTENTION à ne pas se faire piéger par les apparences.



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