Les roues magiques


 

Le problème

B134 Les roues magiques****
avec Diophante.fr      
Problème proposé par Michel Lafond

Je définis une roue magique d’ordre n = 3 comme un ensemble de 2n points, composé des n sommets et des n milieux des côtés d’un polygone régulier convexe à n sommets.
À chaque point de cet ensemble est associé un entier compris entre 1 et 2n (appelé sa marque) de telle sorte que chaque marque ne soit utilisée qu’une fois, et que la somme des trois marques situées sur un même côté soit constante.
Démontrer qu'il existe des roues magiques de tout ordre n = 3

Exemples :


SOLUTION et SIMULATION

Soit s la somme des n nombres positionnés aux sommets de chaque roue.
Soit c la somme des nombres positionnés sur chaque côté : sommets compris.
Soit Sn la somme de tous les nombres de 1 à 2n positionnés sur la roue entière.
Nous avons Sn = 2n(2n+1)/2 soit Sn = n(2n+1)
Sn + s = n*c soit
2n(2n+1)/2 + s = n*c
D’où
s = n*c - n(2n+1)
s = n [c - 2n - 1 ]
Il faut donc que la somme des nombres en chacun des sommets soit un multiple du nombre de sommets de la roue.
La somme constante sur chacun des côtés est alors :
c = (Sn + s ) / n
c = 2n + 1 + s / n
c = 2n + 1 + k avec s=k*n
c est le premier nombre à fixer pour trouver une solution.
Une fois s fixé, on détermine les nombres sur les côtés par simple soustraction.

La simulation suivante donne des exemples de solutions jusqu'à l'ordre 53.

PLEIN ECRAN


Pour plus d'explications sur la façon de construire effectivement la roue voir ICI
Et chez Diophante ICI


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