Le ballon dans son filet




Le problème suivant vous est proposé par Diophante (D346 octobre 2014)
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit noeuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a. On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface.Le volume du ballon est alors de 9200 cm3.
En déduire a.

L'animation suivante permet de voir le filet puis le ballon gonflé.

En cochant les boutons adéquats on peut voir
-le cube initial aux arêtes vertes, correspondant au filet tendu par le ballon gonflé, est constitué des douze lacets ;
-le cube aux arêtes rouges, intérieur au ballon dont les sommets sont les nœuds du filet ;
-la sphère correspondant au ballon gonflé dont on peut jouer sur la transparence et la couleur ;
-le filet tendu dessiné en noir, visible ou non à travers le ballon, selon sa transparence.


 Les arêtes vertes du grand cube ont la même longueur que chaque arc tendu sur le ballon entre les
nœuds.

En mode MANUEL
Il est possible de faire tourner le ballon,
- soit avec les flèches du clavier : gauche et droite, haut et bas et enfin les touches Ctrl et Maj
-soit en cliquant tirant la souris sur les objets.

Cliquer le bouton AUTO pour obtenir une rotation automatique.

                                                            PLEIN ECRAN


Solution rapide du problème

Très rapidement, le volume de 9200 cm3 donne un rayon de quasi 13 cm avec la formule
Volume = 4/3 π R
3 .
Si a est le côté du cube dont les sommets sont les nœuds du filet, nous avons la relation :
R = a
/ 2 .
On en déduit que a = 2 R
/.
Avec un rayon de 13 cm, nous avons environ 15 cm comme longueur d'arête du cube intérieur formé sur sur les nœuds.
L'arc final du filet sur la sphère sous tend un angle dont la moitié a pour sinus a/2R.

L'angle sous tendu par l'arc est d'environ 70.47 °.
La longueur de l'arc est donc 2πR *70.47/360 ~ 16 cm.


Différentes solutions vous sont proposées chez Diophante ICI.

 

 


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