Le Théorème de Pythagore


Le théorème (1)


Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Note : Les approximations de mesures sont normales car réalisées en grandeur réelle.

 


Pythagore (VI e siècle av.J.-C.)
gravure du XVI e siècle

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  Le triangle est rectangle en C, on a donc bien:
AB2 = AC2 + BC2




Descartes lui-même affirma dans une lettre à la princesse Elisabeth de Bohême :
"Je ne considère point d'autres théorèmes sinon
-que les côtés des triangles semblables ont semblable proportion entre eux et
-que dans les triangles rectangles, le carré de la base est égal aux deux carrés des côtés.
Et je ne crains point de supposer plusieurs quantités inconnues,
pour réduire la question à tels termes qu'elle ne dépende que de ces deux théorèmes."


Démonstration visuelle N°1



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Démonstration N°2

Traçons un triangle rectangle et sa hauteur issue du sommet de l'angle droit.
Dans l'animation suivante, déplacer les points A puis B et C.

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Les trois triangles AHB, CHA et CAB sont semblables car ils ont des angles de même mesure :
ils sont tous les trois rectangles et leurs angles aigus ont leurs côtés respectivement perpendiculaires deux à deux.

Il s'ensuit que le rapport des mesures homologues est identique pour les trois triangles.

C'est le cas pour le quotient de l'aire par le carré de l'hypoténuse de chaque triangle.
.
Appelons
A1 l'aire du triangle d'hypoténuse a=AB, B1 l'aire du triangle d'hypoténuse b=AC et C1 celle du triangle d'hypoténuse c=BC.

Il vient :


Cette dernière égalité est une propriété que l'on retrouve avec un simple tableau de proportionnalité,
dans lequel nous plaçons les aires sur la première ligne et les carrés des hypoténuses sur la deuxième ligne.

. Finalement :

 Comme nous savons que A1 = B1 + C1, nous en déduisons que      a² = b² + c².
C'est bien la propriété de Pythagore.




Démonstration visuelle N°3

Observez bien le pavage ci-dessous qui me vient de P.Jullien.
Il constitue également une très jolie démonstration visuelle du théorème de Pythagore.

Les deux carrés blancs de côtés respectivement b et c, sont composés ensemble d'une pièce jaune, d'une verte et d'une rose.
Il en est de même du carré oblique de côté a.

Nous obtenons ainsi   a² = b² + c²

 


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(1) Dans chaque animation, le sommet A,
se déplace sur un cercle de diamètre [BC].
car
Tout triangle, inscrit dans un demi-cercle
dont le diamètre est l'un des côtés du triangle,
est rectangle.