Le Théorème de Pythagore


Le Théorème
Démonstration visuelle N°1
Démonstration N°2

Le théorème
Le carré de l'hypoténuse,
Est égal, si je ne m'abuse,
àla somme des carrés
Construits sur les autres côtés.

                       Fr.Nohain

 


Pythagore (VI e siècle av.J.-C.) gravure du XVI e siècle


Déplacer les points B,C horizontalement et A sous I.E  (1)


Le triangle est rectangle en A, on a donc bien:
BC2 = AB2 + AC2

Si un triangle est rectangle,
alors le carré de l'hypoténuse

est égal à la somme des carrés
des côtés de l'angle droit
.




Descartes lui-même affirma dans une lettre à la princesse Elisabeth de Bohême :
"Je ne considère point d'autres théorèmes sinon
-que les côtés des triangles semblables ont semblable proportion entre eux et
-que dans les triangles rectangles, le carré de la base est égal aux deux carrés des côtés.
Et je ne crains point de supposer plusieurs quantités inconnues,
pour réduire la question à tels termes qu'elle ne dépende que de ces deux théorèmes."

 

 

Démonstration visuelle N°1
PLEIN ECRAN


Démonstration N°2
Traçons un triangle rectangle et sa hauteur issue du sommet de l'angle droit.
Dans l'animation suivante, déplacer les points A puis B et C éventuellement.

Les trois triangles AHB, CHA et CAB sont semblables car ils ont des angles de même mesure.
En effet, ils sont tous les trois rectangles et leurs angles aigus ont leurs côtés respectivement
perpendiculaires deux à deux.
Il s'ensuit que le rapport de mesures homologues est identique pour les trois triangles.
C'est le cas pour le quotient de l'aire par le carré de l'hypoténuse.
Appelons
A
1 l'aire du triangle d'hypoténuse a, B1 l'aire du triangle d'hypoténuse b et C1 celle du triangle d'hypoténuse c.

Il vient :


La dernière égalité est une propriété que l'on retrouve avec un simple tableau de proportionnalité, dans lequel
nous plaçons les aires sur la première ligne et les carrés des hypoténuses sur la deuxième ligne.


. Finalement :

Comme nous savons que A1 = B1 + C1, nous en déduisons que

a² = b² + c²

C'est bien la propriété de Pythagore.

 


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(1) Dans chaque animation, le sommet A,
se déplace sur un cercle de diamètre [BC].

car
Tout triangle, inscrit dans un demi-cercle
dont le diamètre est l'un des côtés du triangle,
est rectangle.