Le crible d' Eratosthène

 
Paradoxe...
- aucun nombre premier n'est pair sauf un
- aucun nombre premier n'est pair sauf deux

 Le crible   
Un nombre est dit premier, s'il admet exactement 2 diviseurs distincts (lui-même et l'unité). 1 n'est donc pas premier.

On désigne sous le nom de crible d'Eratosthène (vers 276 av.J.-C - vers 194 av.J.-C), une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu'un entier naturel n donné.
Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu'à n.
     .On élimine 1.
     .On souligne 2 et on élimine tous les multiples de 2.
     .Puis on fait de même avec 3.
     .On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5,
      et on élimine tous ses multiples.
     .On réitère le procédé jusqu'à la partie entière de la racine de n.
Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu'à n.            

                                  PLEIN ECRAN

Ce crible, qui permet de trouver tous les nombres premiers jusqu'à un entier spécifié, a été développé par Eratosthène. Ce dernier a aussi été le directeur de la fameuse bibliothèque d'Alexandrie et le premier à fournir une estimation raisonnable du diamètre de la Terre.

Grands nombres premiers (factorisation, primalité, Golbach) ICI

 
Les nombres premiers plus petits que 100 sont donc :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
 

Les nombres premiers sont connus depuis l'Antiquité mais en dépit de la fascination qu'ils exercent il n'a pas encore été possible de percer leur mystère, c'est-à-dire de savoir s'il existe ou non, une loi de leur formation.
Euclide démontrait très simplement dans les Eléments (livre IX, 20) que la suite des nombres premiers était illimitée, et donc leur nombre infini.
Marin Mersenne (1588 - 1648) a essayé de trouver une formule permettant de trouver tous les nombres premiers. Il n'y parvint pas. Il a cependant démontré que les nombres de la forme 2p - 1 , où p est premier, sont ceux dont il peut être prouvé le plus aisément qu'ils sont premiers.

En 1971, Tuckermann calcula un nombre premier avec 6 002 chiffres : 219937 - 1.
Le 47e nombre premier de Mersenne (243 112 609 - 1 ) a été découvert en 2008 et contient 12 978 189 chiffres !

Le programme du GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) qui utilise des ordinateurs en réseau effectue de monstrueux calculs nécessaires à la découverte de tels objets mathématiques.

Aujourd'hui les nombres premiers jouent un rôle important dans les algorithmes de chiffrement à clés publiques pour envoyer des messages sécurisés. Ils sont aussi au centre de nombreuses conjectures dont l'hypothèse de Riemann (concernant la répartition des nombres premiers) et la conjecture de Golbach selon laquelle tout nombre entier pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers.

 
 Menu trucs  Accueil