Aladin et le petit lion...
Paradoxe de Zénon


Nouvelle version ICI

Aladin et le petit lion font la course.
Mais Aladin va plus vite que le petit lion : pendant une unité de temps, Aladin parcourt 1000 mètres et le petit lion parcourt 100 mètres.
 

 

 

DEPART temps : 0 unité.

 

Je vais t'attraper !

 

Jamais !


1000 mètres

 

On donne 1000 mètres d'avance au petit lion.

                     

 

 

 

                        

 

 

 

Temps : 1 unité.

 

Je vais t'attraper !

 

Jamais !


1000 mètres


100 mètres

Au bout d'une unité de temps Aladin a parcouru 1000 mètres,
mais le petit lion a parcouru 100 mètres de plus.

                    

  

       

 

                

 

 

 

Temps : (1 + 1/10) unité.

 

Je vais t'attraper !

 

Jamais !

...
1100 mètres


10 mètres

Au bout de (1 +1/10) unité de temps
Aladin a parcouru (1000 + 100) mètres,
mais le petit lion a parcouru 10 mètres de plus.

                    

       

 

 

 

  

                        

 

 

 

Temps : (1 + 1/10 + 1/100) unité.

 

Je vais t'attraper !

 

Jamais !

...
1110 mètres


1 mètre

Au bout de (1+1/10+1/100) unité de temps
Aladin a parcouru (1000 + 100 + 10) mètres,
mais le petit lion a parcouru 1 mètre de plus.

                   

       

 

 

 

  

                        

 

 

 

Temps : (1 + 1/10 + 1/100 +1/1000) unité.

 

Je vais t'attraper !

 

Jamais !

...
1111 mètres


0,1 mètre

Au bout de (1+1/10+1/100+1/1000) unité de temps
Aladin a parcouru (1000 + 100 + 10 + 1) mètres,
mais le petit lion a parcouru 0,1 mètre de plus.

  

                   

ALORS... Aladin s'interroge : arrivera-t-il à rattraper le petit lion ?

Et vous qu'en pensez-vous ?

 

 

  ZENON                     ACHILLE                     SOLUTION

 

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SOLUTIO

          En toute logique, Aladin doit pouvoir rattraper le petit lion : en effet au bout d'un temps égal à deux par exemple, Aladin parcourt 2000 mètres et le lion 200 mètres. Donc Aladin a rattrapé le lion sans problème.
Pourtant quand nous calculons avec le temps 1+1/10+1/100+1/1000+1/10000+... le lion a toujours une avance sur Aladin. Et cela même si nous ajoutons indéfiniment une fraction du temps dix fois plus petite que la précédente ajoutée.
          En fait nous avons une somme infinie de termes de plus en plus petits... et on démontre que cette somme est finie, on a :
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10 000 + ... 1/10n + ... = 10/9
(il s'agit de la somme des termes d'une progression géométrique de raison 1/10)

 

Aladin rattrape le lion au temps 10/9.
A cet instant
Aladin aura parcouru 10 000/9 mètres soit 1111 mètres et 1/9 mètre
et
le petit lion lui aura parcouru 111 mètres et 1/9 mètre au-delà de ses 1000m d'avance du début.

La paradoxe de Zénon est un exemple de situation embarrassante où la formalisation est le seul moyen de rendre cohérentes deux descriptions incompatibles a priori. D'un côté on a une suite infinie et de l'autre une distance finie. Le paradoxe réside dans le terme indéfiniment qui paraît naïvement simple.
On dira mathématiquement que la suite des distances séparant les deux antagonistes est une suite décroissante convergente dont la limite est nulle. C'est cette notion de limite d'une suite convergente qui permet de lever la contradiction.
Le concept de "suite infinie convergente" permet de concilier la finitude et l'infinitude.

Que de chemin a été nécessaire pour arriver à ce concept...

 
                   
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