Le triangle prétentieux

Quelconque il se croit régulier

Ce triangle ABC est quelconque.
On trace la médiatrice de [BC] passant par son milieu D, soit E un point de cette médiatrice. Considérons la bissectrice de l'angle A.

Si la droite (DE) et la bissectrice sont parallèles, c'est que cette bissectrice est perpendiculaire à [BC], elle est alors hauteur dans le triangle ABC, qui est par conséquent isocèle en A, puisqu'il a une bissectrice qui est aussi hauteur... Finalement (DE) et la bissectrice sont confondues.
Si la droite (DE) et cette bissectrice ne sont pas parallèles, elles se rencontrent, appelons F ce point de rencontre.

Traçons [FB] puis [FC].
Traçons aussi [FH] perpendiculaire à (AB) et enfin [FG] perpendiculaire à (AC) .

Les triangles AFG et AFH sont égaux, car ils ont un côté commun et deux angles égaux (donc les trois angles égaux).
On en déduit : AH=AG
et FH=FG.
FB=FC (car F sur médiatrice de [BC]).

De même encore, les triangles FGC et FHB sont égaux (un angle droit et deux côtés égaux (hypoténuse et un côté de l'angle droit, donc trois côtés égaux avec le théorème de Pythagore) : FB=FC et FH=FG).
On en déduit : HB=GC
.

Avec la relation AH=AG ci-dessus et HB=GC, on trouve par addition : AB = AC.

Et le triangle ABC quelconque d'affirmer : il est isocèle en A.
Mieux, on peut recommencer la démonstration avec le sommet B ou même le sommet C, il est aussi isocèle en B et isocèle en C.
Conclusion, il prétend beaucoup plus : il s'affirme équilatéral !

 Où est donc l'erreur ?

 

Solution
Je ne vous ferai pas languir... L'erreur est fréquente. Elle ne réside pas dans ce qui est écrit. Mais ... elle se trouve dans la figure ci-dessus, elle est fausse !
-Où donc ?

Nous avons effectivement considéré deux cas :
-celui ou les deux droites (DE) et la bissectrice sont ou ne sont pas parallèles.
Très bien, elles ne sont pas parallèles, elles se coupent effectivement mais pas à l'intérieur du triangle. Elles se coupent à l'extérieur.

Il faut donc se méfier des constructions trompeuses. Ici il y a un petit défaut de construction dans la bissectrice, qui est inexacte. Bien sûr une figure permet de visualiser et c'est important. Mais elle doit être rigoureuse et de toute façon, elle restera toujours un cas particulier parmi tant d'autres.

Sur une figure rigoureuse on constatera (voir Figure dynamique) que les droites concernées se coupent à l'extérieur du triangle

 

   

 

Réfutation

Le triangle ne désarme pas. Puisque le point F est extérieur au triangle, on recommence :

Prenons [FH] et [FG] perpendiculaires à (AB) et (AC) comme ci-dessus.
Comme ci-dessus, on trouvera que les triangles AFH et AFG sont égaux. (donc FH=FG, AH=AG);
Puis BHF et CFG sont égaux
(
car FC=FB ( F sur médiatrice de [BC]) et
FH=FG et angle droit)
.
De même pour les triangles AFB et AFC.
On déduit alors les égalités :
AH = AG et
HB = GC.
Le raisonnement reste identique. Mais cette fois, on soustrait les résultats pour obtenir :
AH - HB = AG - GC
d'où à nouveau l'égalité des segments AB et AC.

Et ... notre triangle ABC confirme qu'il est isocèle et même équilatéral ...

Solution
Cette fois, le point F est bien à l'extérieur du triangle, mais les points G et H sont mal placés relativement aux côtés [AC] et [AB]. Si G est dans le prolongement de [AC] alors H est situé entre A et B. De même si H est dans le prolongement de [AB], alors G est entre A et C.

La démonstration précédente est donc en défaut puisqu'on ne peut pas soustraire les longueurs des segments dans chacun des membres de l'équation proposée.

La figure dessinée ici, est fausse et irréalisable. A vérifier ci-dessous, où cette fois, c'est sûr la figure est rigoureuse... ;-) 


Figure dynamique  

La figure ci-dessous est cette fois parfaitement exacte
Déplacer les sommets du triangle pour s'en convaincre.

On peut les déplacer avec la SOURIS ou bien avec le CLAVIER :
- flèches GAUCHE, DROITE pour les quatre points,
- le point A peut également être déplacé avec les flèches HAUT et BAS.

Observer la figure :
Si G est dans le prolongement de [AC] alors H est situé entre A et B.
De même si H est dans le prolongement de [AB], alors G est entre A et C.

 
 

 


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