L'explorateur

Cet explorateur est perdu dans une zone inconnue. Il dispose d'une boussole. Il parcourt 10 Km vers le sud, puis 10 km vers l'Ouest et enfin 10 km vers le Nord. Alors à sa stupéfaction il se retrouve au point de départ.
Où EST-IL DONC
?

Trop facile ? D'accord je vous ai donné de bons indices.
Aussi je vous dirai qu'il y a une infinité de solutions...
A VOUS DE LES TROUVER !

La boussole plein écran ICI

 

 Solution

Première solution

Une première solution se situe au pôle Nord.
L'explorateur marche d'abord 10 km vers le point C au Sud.
Puis il marche vers l'Ouest pendant 10 km, sur un parallèle.
Il arrive en B.
De là, il repart vers le nord pendant 10 km
et il revient donc au pôle Nord,
c'est-à-dire au point de départ.

De nombreuses solutions

L'idée est de partir d'un point A à quelques km du pôle Sud : un peu plus de 10km. Nous trouverons environ 11592 m ci-dessous.
De A l'explorateur va vers vers le Sud , donc vers B.
En B, il nous faut un parallèle de périmètre 10 km dont l'explorateur fera le tour en tournant vers l'Ouest., ce qui le ramènera en B.
De B, il refera 10 km vers le Nord donc vers A et se retrouvera bien au point de départ.
Comme le point B peut être pris n'importe où sur le parallèle de périmètre 10 km, il y a effectivement une infinité de solutions.

Calculs :
Le parallèle de périmètre 10 km aura un rayon de (10 / 2) km soit environ 1592,35 m ( ~ 3.14 )
La distance de B au pôle Sud est donc d'environ 1592 m.
Ainsi le point A lors la distance de A au pôle Sud est d'environ (10000 + 1592 =) 11592 m.

 

Bien d'autres encore
On peut encore trouver de nombreuses autres solutions en imaginant que l'explorateur fait plusieurs fois le tour du parallèle en B.
E
xemple en faisant 5 fois le tour.
Il nous faut un périmètre 5 fois plus petit, donc de 2 km.
Le rayon est 5 fois plus petit donc de 318,4 m environ.
Finalement, l'explorateur partira de A situé à (10000 + 318,4 =) 10318,4 m du pôle Sud.
Il parcourt 10 km vers le Nord et arrive en B où il parcourt 10 km en faisant 5 fois le tour du parallèle. Il se retrouve en B.
De là, il effectue 10 km vers le Nord et revient donc en A.

Maintenant notre explorateur pourrait tourner 2 ou 3 ou ... un nombre quelconque de fois ..

 

 

 

 Le ruban de Möbius (2)

Imaginez une surface où les deux faces n'en font qu'une... vous arrivez de l'autre côté sans jamais changer de face. C'est le ruban de Möbius.
Prenez une longue bande de papier mince et reliez les extrémités après avoir fait un demi-tour avec l'une des extrémités comme indiqué ci-contre.
Vous avez un ruban de Möbius, du nom d'August Möbius qui en publia une construction en 1865.

Comment réaliser un ruban de Möbius
Si d'un point quelconque on trace une ligne dans une direction ne coupant pas le bord on se retrouve à mi-chemin au point de départ mais de l'autre côté du papier.
Continuons, après un autre tour alors on se retrouve au point de départ et du même côté.
Le parcours de la mouche ci-contre montre que le ruban n'a qu'un seul bord.
Comme il n'a qu'une face, un tapis roulant qui aurait subi un demi-tour, comme celui breveté par la société Goodrich Tyre Company, s'usera régulièrement des deux côtés.(1)
On m'a signalé que plusieurs marques d'imprimante matricielle utilisaient des cassettes avec un ruban de Möbius. Le ruban était donc encré des 'deux' côtés. Le pli du ruban était commandé par une languette de plastique située juste avant sa sortie.
Certaines personnes assez ingénieuses ;o) réencraient donc ce ruban jusqu'à une dizaine de fois, avec une encre de qualité, de bons gants et surtout une bonne dose de savoir faire !
Beaucoup d'usagers ignoraient évidemment que leur cassette contenait un ruban de Möbius.
Le ruiban de Möbius,  gravure sur bois Escher 1961.

Maintenant si l'on découpe ce ruban le long de sa ligne médiane, on n'obtient pas deux morceaux mais un seul formant quatre demi-tours comme si les extrémités de la bande avaient subi deux tours complets avant d'être assemblées. Les bords forment maintenant deux courbes distinctes, reliées l'une à l'autre, mais chacune sans aucun nœud.

 On peut tendre une bande cylindrique entre deux rouleaux.Pour le ruban de Möbius il en faut trois.ruban de Möbius tendu. 

Le vase de Klein est une surface fermée à une seule face; elle n'admet ni intérieur, ni extérieur et n'est pas orientable. De façon très imagée, on obtient cette surface en allongeant le col d'une bouteille et en le raccordant par l'intérieur avec le fond après lui avoir fait traverser la bouteille. (Dictionnaire des mathématiques de A.Bouvier.M.Georges et F.Le Lionnais.)

Bouteille de Klein.

Noeud de trèfle.

 

 L'orange et la terre
Imaginons que la terre soit une boule ou une sphère parfaite.
Imaginons encore une ficelle de 40 000 kilomètres qui l'entourerait sur un méridien.
On rallonge la ficelle pour que celle-ci soit tendue à 1 mètre du sol sur tout le pourtour.
D'accord c'est fictif ;-)
Maintenant nous faisons la même chose avec un fil autour de l'orange. On rallonge ce fil de façon à ce qu'il soit aussi à 1 mètre autour de l'orange.
De combien rallonget-on les fils dans les deux cas ?

Réponse (cliquer sur le texte ci-dessous pour pouvoir le lire ) :

Rien ne vous empêche d'essayer avec une orange et une roue de bicyclette... 

                   

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(1) DAVID WELLS Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques éditions Eyrolles
(2) Pour en savoir plus, voir JEAN-PIERRE PETIT Le topologicon éditions Belin