Photomatons


Transformation graphique surprenante

P
renons ici une photo de taille 256x256 pixels et réduisons sa taille de moitié.
Nous obtenons alors quatre images semblables. En effet quand les longueurrs sont divisées par deux, l'aire est divisée par quatre.

Recommençons l'expérience, nous obtenons 16 petites images qui se ressemblent fortement.
Encore une fois et nous obtenons 64 petites images presque identiques.

En poursuivant l'opération avec l'image proposée qui a une taille de 256 pixels sur 256 pixels,
nous voyons l'image initiale réapparaître après la huitième transformation !
L'image ici est exactement identique (dans le cas 256 x256) à la première et nous avons à chaque fois utilisé la même transformation !
Par contre comme nous allons l'expliquer avec les numéros des pixels ci-dessous,
les petites images ne sont pas rigoureusement identiques même si elles se ressemblent beaucoup.

Surprenant ?

Faites vos essais ci-dessous avec différentes images.

Choisir une image dans la liste ou bien faire ses essais sur des images personnelles
de 256k sur 256 k stockées... chez Orange (désolée... l'adresse doit être http://pagesperso-orange.fr.....).
Il suffit alors de donner l'adresse de son image.

Cliquer sur le bouton Suivant pour voir la transformation.

L'explication est donnée ci-après.

ATTENTION, un peu de patience est nécessaire, les calculs sont assez longs et
il est indispensable d'avoir la version 8 de Flash Player
Mise à jour de macromedia  FLASH PLAYER. Indispensable pour voir les animations Flash..

PLEIN ECRAN                     

 

Explication : la transformation du Photomaton est une permutation de pixels.
La transformation opérée garde tous les pixels de l'image. Ils ont seulement été déplacés : il s'agit d'une permutation des pixels.
Comme nous partons d'un ensemble fini de pixels : 256 x 256,
nous savons mathématiquement qu'au bout d'un nombre fini d'opérations nous réalisons la transformation IDENTITE
qui nous ramène à l'image initiale. Chaque pixel retrouve sa place originale.
Dans une image 256x256 chaque pixel retrouve sa place exacte.

Explicitons le procédé sur une une ligne de huit pixels numérotés de 0 à 7 :
            0      1      2      3      4      5      6      7
     Plaçons tous les nombres de rang pair en tête puis les autres dans l'ordre.

Cela donne :
            0      2     4      6      1      3      5      7
     puis :
            0      4     1      5      2      6      3      7
     puis :
            0      1      2      3      4      5      6      7

     En trois opérations, chaque pixel a réintégré sa position de départ.
            0      1      2      3      4      5      6      7

On utilise le même procédé sur les colonnes.

Pour une image de 8 sur 8 pixels, il faut 3 transformations pour retrouver l'image intiale.
Pour 16 x 16 pixels, il en faudra 4 ;
Pour 32 x 32 pixels, il en faudra 5 ;
Pour 64 x 32 pixels, il en faudra 6 ;
Pour 128 x 128 pixels, il en faudra 7 ;
Pour 256 x 256 pixels, il en faudra 8. C'est le cas des images proposées.
Pour 512 x 512 pixels, il faudra 9 permutations.

Nous voyons dans la première transformation que
-la première image contient les pixels 0 2 4 6 et
-la deuxième contient les pixels 1 3 5 7.
Ces pixels ont des couleurs très voisines mais ne sont pas identiques.



La théorie sous-jacente est celle des permutations d'un groupe fini :
quand on effectue des transformations précises sur les éléments d'un ensemble fini, on revient toujours au point de départ.




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