Le triangle rectangle isocèle
        Prenons un triangle rectangle isocèle dont le côté de l'angle droit a pour mesure de longueur 1.
Avec le théorème de Pythagore nous savons que son hypoténuse mesure ,
car le carré de l'hypoténuse est selon Pythagore :
12 + 12 = 2.
La somme des longueurs des 2 côtés de l'angle droit est 1 + 1 = 2.
Si nous construisons une ligne brisée avec des gradins en angle droit comme sur la figure ci-dessous, il est facile de conclure que sa longueur est toujours égale à 2 (les segments verticaux mis bout à bout ont une longueur de 1 et les horizontaux mis bout à bout ont aussi une longueur de 1).
En réitérant le procédé, nous avons toujours une ligne brisée de longueur 2.
Continuons indéfiniment à augmenter le nombre de gradins, nous obtenons une suite de lignes brisées qui se rapprochent de plus en plus de l'hypoténuse du triangle rectangle. On a bien envie de penser que la ligne brisée se confondra à la fin avec l'hypoténuse et donc que sa longueur sera celle de l'hypoténuse donc
!

 

Nous aurions donc 2 = ???

Explication
        La ligne brisée ne sera pas confondue avec l'hypoténuse du triangle. Elle n'a pas tous ses points sur l'hypoténuse. L'ensemble des points communs à la ligne brisée et l'hypoténuse est un ensemble dénombrable de points et il existe des points intermédiaires non communs à la ligne brisée et l'hypoténuse.
La ligne brisée a une longueur constante 2 et l'hypoténuse a une longueur de .

La différence de ces deux longueurs ne tend pas 0 et nous ne pouvons appliquer le résultat déjà rencontré dans le cercle et son diamètre : Une grandeur variable L a pour limite une grandeur fixe A
lorsque la différence entre L et A peut devenir et rester moindre que
toute quantité donnée à l'avance, aussi petite qu'elle soit
. (2)

 

Variante
        On peut tracer la ligne brisée de nombreuses façons :
par exemple en commençant à l'angle en bas à gauche,
et en se déplaçant d'1/4 vers le haut,
1/2 vers la droite, 1/2 vers le haut,
1/2 vers la droite et 1/4 vers le haut.
Recommencer le procédé...
Alors la ligne brisée est répartie de chaque côté de l'hypoténuse.
La longueur de la ligne est toujours égale à 2.


 

 Le triangle quelconque

        On peut travailler de la même façon avec un triangle quelconque de côtés mesurant a, b puis c. Il suffit alors de se déplacer parallèlement aux côtés.
Même en augmentant le nombre de segments, la ligne brisée garde une longueur constante de a+b qui est supérieure à c.

 

 

               

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(1) Idée provenant de E.P. Northrop Fantaisies et paradoxes mathématiques 1956 édition Dunod
ouvrage aimablement prêté par
M.Hort
(2) Emile Fourrey Curiosités géométriques Paris 1907 librairie Vuiber