Le rectangle de Harry Langman (New York)


Curieux, les figures paraissent composées des mêmes morceaux.
Pourtant elles n'ont pas la même aire.
Où est le problème ?



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Solution 

 

 

 

 

 

Regardons bien la figure :  les points P et N ne sont pas confondus contrairement à ce que l'on semble penser dans la figure reconstituée. La figure C est en fait le polygone limité par PR et non NR. De même la figure A est limitée par MP et non MN. La figure B elle est limitée par QR et D par MQ qui passe par N.
Nous avons donc un trou constitué du polygone MPRQN dont l'aire est exactement égale à une unité. Comme cette unité est dispersée en longueur elle est bien sûr quasiment invisible.
On peut aussi expliquer le résultat en observant que les points M, P et R ne sont pas alignés. C'était donc une erreur de reconstitution. C'est difficile à voir (déplacez la droite ci-dessus), car en fait les segments MP et QR sont parallèles mais pas avec PQ... d'où un résultat aberrant.

Nous retrouvons une fois de plus, les nombres 5, 8, 13, 21, 34, 55 qui font partie de la suite de Fibonacci 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... etc.
Si nous choisissons deux nombres consécutifs de la suite pour longueur et largeur d'un rectangle et ceux qui l'encadrent pour l'autre rectangle nous obtenons alternativement un gain ou une perte de 1 unité.
Ces gains et pertes se traduisent par la formation ou le chevauchement d'un léger espace vide plus petit (relativement à la figure totale) quand les nombres seront grands.

Ci-dessus :
un écart de 1 entre
8 x 13 =104 et
5 x 21= 105 --> erreur relative d'environ 1/104.

On a aussi un écart de 1 entre
8 x 34 = 272 et
13 x 21 = 273 --> erreur relative d'environ 1/272.
L'erreur dans ce cas est moins visible car plus petite, proportionnellement à la surface de la figure.

 

 

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