Les aiguilles de l'horloge

Les lecteurs des paradoxes connaissent la course entre Achille et la tortue de Zénon d'Elée le philosophe grec. Ici la tortue a 12 pas d'avance.
Chaque fois qu'Achille avance de 12 pas la tortue avance de 1 pas. Si Achille avance alors de 1 pas, la tortue avance de 1/12 pas... Alors on se dit qu'il y aura toujours un écart entre eux, même s'il devient de plus en plus petit. Nous savons pourtant qu'Achille rattrape effectivement la tortue mais où ?
Christophe, mon ami suisse passionné de montres, s'interroge devant la course des aiguilles : il est exactement midi. L'aiguille des minutes va 12 fois plus vite que celle des heures.

Combien de fois les aiguilles se superposeront-elles avant minuit ? A la seconde près quels sont les instants où elles se superposeront ?
Et si on voulait aussi superposer l'aiguille des secondes ?

Exercez-vous en mode manuel sur l'horloge suivante sur laquelle on fait tourner l'aiguille des secondes.
  
Pour faire tourner l'aiguille des minutes c'est ICI
:
la précision des secondes sera moindre dans cette horloge puisque la rotation est réalisée minute par minute.
L'intérêt réside évidemment dans la rapidité de la rotation des aiguilles.

PLEIN ECRAN

SOLUTION ici

 

 

 

 


SOLUTION
Si l'aiguille des minutes va douze fois plus vite que celle des heures, alors elle rencontrera celle des heures 11 fois en douze heures.
Attention 11 fois mais pas 12.
En effet si on appelle x l'intervalle parcouru entre les superpositions par la petite aiguille sur les 12 heures de l'horloge, alors la grande aiguille (minutes) a parcouru 12 fois plus soit 12 x et elle se superpose à la grande lorsqu'elle a parcouru 12 + x sur l'horloge. Nous avons donc :
12 x =
12 + x donc 11 x = 12 et x = 12/11
Il y aura donc une rencontre tous les 12/11èmes de 12 heures. Nous trouvons une rencontre chaque 1,090909... heure soit régulièrement au bout de 1 heure 5 minutes et 27 secondes et des tierces...

Une autre façon de procéder consiste à travailler sur un tour complet de 360°, on trouverait une rencontre tous les 360/11 ~ 32,7272°, cela donnera le même résultat en heure : (32,7272/360) x 12
~ 1,0909...

Les aiguilles sont en coïncidence à
12 heures 0 minute 0 seconde
puis à
1 heure 5 minutes 27 secondes et 3/11 seconde...
puis à 2 heures 10 minutes 54 secondes et 6/11 seconde...
puis à 3 heures 16 minutes 21 secondes et 9/11 seconde...
puis à 4 heures 21 minutes 49 secondes et 1/11 seconde...
puis à 5 heures 27 minutes 16 secondes et 4/11 seconde...
puis à 6 heures 32 minutes 43 secondes et 7/11 seconde...
puis à 7heures 38 minutes 10 secondes et 10/11 seconde...
puis à 8 heures 43 minutes 38 secondes et 2/11 seconde...
puis à 9 heures 49 minutes 05 secondes et 5/11 seconde...
puis à 10 heures 54 minutes 32 secondes et 8/11 seconde...

Cliquer sur le bouton Avancer pour voir la course des aiguilles ci-dessous.
Le coucou sort dès que les aiguilles se superposent.


Pour la troisième aiguille des secondes, il faut d'abord que les deux premières se superposent : alors on regarde uniquement les onze résultats calculés ci-dessus et... on ne trouve aucun cas où la troisième se superpose à la seconde près sauf à midi ou à minuit : il faut pour cela que le nombre de secondes soit identique à celui des minutes... Par contre si l'on est moins exigeant, à 5 secondes près par exemple nous avons une superposition à 3 heures 16 minutes 21 secondes.


 

Le graphique suivant (proposé par Pierre Jullien) permet de voir le problème sous un autre angle :
les traits obliques fins représentent le parcours de la grande aiguille et le trait plus épais représente celui de la petite aiguille.
L'axe horizontal représente le temps qui s'écoule en heures et l'axe vertical reflète les positions des aiguilles sur le bord déroulé du cadran horaire.

Nous retrouvons les solutions aux intersections des traits. Cela donne 11 solutions en comptant le départ : 12h 0 minute 0 seconde ou 0 heure 0 minute 0 seconde.

Paradoxe des aiguilles
1 heure c'est 60 minutes, pourtant l'aiguille des minutes ne va que 12 fois plus vite que celle des heures !
1 minute c'est 60 secondes et l'aiguille des secondes va bien 60 fois plus vite que celle des minutes ;o)

La petite blague de Christophe
Un esquimau se trouvant sur la banquise attend impatiemment sa douce moitié qui est en retard pour un rendez-vous galant.
Il sort alors un thermomètre de sa poche et se dit :"Si elle n'est pas là à moins 20, je m'en vais !"



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