Le cercle bicentrique

 

 

Le cercle à double centre

Construisons un angle (Au,Av) quelconque.
Prenons deux points quelconques B et C sur chacun des côtés de cet angle.
Traçons la perpendiculaire au côté [Au) en B, puis traçons la perpendiculaire au côté [Av) en C.
Ces deux perpendiculaires se coupent en un point P.
Le cercle (
C) passant par les trois points C, P et B coupe les deux côtés de l'angle (Au,Av) en M et N.


Le triangle MBP est un triangle rectangle en B,
il est donc inscriptible dans un cercle de diamètre [MP]
, dont le centre est le
milieu de [MP]. Soit O1 ce centre.
Or les points B, P et M sont situés sur le cercle (
C) .
O1 est donc le centre de (
C).
Nous démontrons de la même façon que O2 milieu de [NP] est le
centre du cercle (
C).

Finalement le cercle (C) a deux centres O1 et O2 .

 Où est l'erreur ?

  

  

   

Solution

La figure ci-dessus est fausse, en effet (BP) n'est pas parfaitement perpendiculaire à (AB), pas plus que (CP) ne l'est à (AC).
Lorsque les droites (BP) et (CP) sont perpendiculaires respectivement aux côtés (MP) et (NC), alors le point d'intersection A se trouve confondu avec M et N :
[AP] est un diamètre du cercle
(C) passant par les points A , B et P et
de la même façon [AP] est un diamètre d'un cercle
(C ') passant par les points A , C et P.


On a forcément (C ') confondu avec (C) puisque ces deux cercles ont même diamètre.
L
es côtés [MP] et [NP] sont confondus avec [AP] et sont l'hypoténuse commune aux triangles rectangles MBP et NCP.
Le quadrilatère A BPC qui a deux angles droits opposés est bien inscriptible dans le cercle
(C).
Nous pouvons vérifier cela sur l'animation exacte ci-dessous.

On peut déplacer chacun des points B et C sur les côtés de l'angle (AB, AC).
On peut modifier l'angle en déplaçant verticalement les points D et E.

Ces déplacements peuvent être effectués avec la SOURIS ou bien avec le CLAVIER :
-flèches GAUCHE et DROITE pour les points B et C ;
-flèches HAUT et BAS pour les points D et E.

 


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