Le bonnet d'âne .

Le bonnet
Solution

Ah ! ça. Accordez-vous donc !

 

Le bonnet
Prof, pose un problème dans sa classe :
       Il s'agit de calculer l'aire du bonnet d'âne ci-dessous avec les coordonnées des points A,B,C,D,E notées sur la figure.
       Très simple quand on sait calculer l'aire d'un trapèze ou d'un triangle !
       Chacun y va de sa méthode et finalement nous obtenons les résultats suivants :

 

Première méthode : calcul de la différence des aires du trapèze (ABCD) et du triangle (AED).
        Aire (ABCD) - Aire(AED) =

Deuxième méthode : calcul direct .
        Aire (ABC) + Aire(BDC) - Aire(BEC) =

Chacune des deux méthodes semble exacte, pourtant les résultats sont différents.
Y-a-t-il un bon résultat ?
Si oui quel est le bon ? Et où est l'erreur ?

 
Solution 
Les deux procédures semblent exactes a priori.
Mais la deuxième procédure utilise l'alignement des points A, E et C, tout comme celui symétrique des points D, E et B.
Or ces points ne sont pas alignés. En effet, s'ils l'étaient, nous aurions égalité pour la tangente des angles AEF et HEC.
       Or tangente(AEF) = 3/4
       et tangente(HEC) = 2/3
       et 3/4 2/3.
On peut vérifier que la droite (AC) ne passe pas par E, en posant la souris sur la figure ci-dessous.

Par le calcul on vérifie bien que le point d'intersection des deux droites (AC) et (BD) n'est pas E :
(AC) d'équation y = -(5/7) x + 5 et
(BD) d'équation y = (5/7) x + - 5/7
ont pour intersection le point d'abscisse x =4 et d'ordonnée y =15/7.

 

Donc le résultat exact est le premier qui utilise la différence d'aire du trapèze et celle du triangle sans faire intervenir les droites (AC) et (BD) : c'est 23.
On peut retrouver ce résultat avec la formule de Pick en comptant les points du réseau qui sont sur le tour de la figure : 10 puis ceux qui sont à l'intérieur : 19. La formule donne l'aire : 10/2 + 19 - 1 = 23.

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