Un défi contre la calculatrice
sur une idée de Diophante.fr



LE PROBLEME

Il s'agit du problème A816 de Diophante.fr


Quelle peut être la limite pour n infini de la suite Xn définie par
X0 = 8358/8051,
X1 = 1506/1393,
X2 = 294/251,
Xn+1 = 2024 - 12119/ Xn + 22204 / (Xn * Xn-1)
- 12108 / (Xn * Xn-1 * Xn-2)  ?




ANALYSE puis SOLUTION

Calculons
et observons :

La première idée est de lancer un calculateur et d'observer les résultats obtenus :
X0 = 1.0381319090796175
X1 = 1.0811198851399857

X2 ~ 1.1713147410358566...
X3 ~ 1.3469387755103526...
X4 ~ 1.6363636365849743...
X5 ~ 2.000000272906618
X6 ~ 2.3336086505387357...
X7 ~ 2.8094824082452305...
X8 ~ 173.6991603511592
X9 ~ 1989.0973715649056 ....
X10 ~ 2017.9590785261403...
X11~ 2017.9999416633216...
.
X16 ~ 2017.9999999999998...
.
ET à partir de là nous trouvons toujours 2018 sur calculatrice ou du moins 2017.999..... avec uniquement des décimales égales à 9.
Il suffit de contrôler les résultats sur l'animation suivante avec la valeur décimakle approximative.

De là à penser que la limite est 2018 il n'y a qu'un petit pas que l'on franchit aisément surtout en l'année 2018...

CEPENDANT...    non, la limite n'est pas 2018.

Notons que les résultats fractionnaires sont valables plus longtemps que les calculs avec notations décimales encore plus approximatifs.

A partir de n=7, les résultats sont assez différents puis divergent complètement !
Le calcul fractionnaire est encore correct mais ce n'est plus le cas du calcul décimal sur machine.

PLEIN ECRAN



Que se passe-t-il ?

Une machine aussi performante soit-elle, ne peut mémoriser qu'un nombre fini (même s'il peut être grand) de décimales.
Elle travaille donc avec des valeurs approchées qui ici, dans le premier calcul automatique avec valeurs décimales, provoquent des erreurs qui se cumulent d'étape en étape. Les résultats deviennent aléatoires au bout d'un certain temps .
C'est le cas ici à partir du terme X7.

Ce genre d'erreur, se produit quelle que soit la performance et quelles que soient les capacités du calculateur utilisé.
Inutile de changer de machine, cela ne fera que déplacer le problème.

Nous DEVONS raisonner rigoureusement avant de lancer un calcul mécanique.

RAISONNONS et calculons rigoureusement

Nous procèderons de la manière que pour le problème E10042.htm.

Les résultats corrects sont obtenus dans l'animation suivante en utilisant un calcul raisonné donnant les bonnes fractions avec numérateur et dénominateurs entiers et calculés rigoureusement.
Les calculs sont dans le fichier suivant : EA816.pdf

D'autres sont accessibles chez Diophante.

Le résultat approximé en décimal, du deuxième calcul de l'animation précédente est obtenu à partir du quotient du numérateur par le dénominateur, ces deux entiers sont calculés exactement sans aucune approximation.
Malgré tout quand ces entiers deviennent très grands (pour le calculateur utilisé), ils sont notés en écriture exponentielle.
CEPENDANT le résultat mémorisé en machine est correct et l'approximation décimale du dernier rapport
est correcte et tend bien vers la valeur 6.

CONCLUSION
Se méfier des résultats approximatifs des calculatrices tout spécialement lorsque les calculs se répètent : les erreurs s'ajoutent.
Il faut user avec modération des calculatrices.




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