Un 1 malin  

Le 1 malin prétendait qu'il égalait tout nombre entier plus grand que 5, aussi grand fût-il !

Et voici comment il le démontrait, on sait tous que :
1 + 2 + 3 + ... + n =        (F1)
En ajoutant les entiers jusqu'à
(n-1) au lieu de n, on obtient en remplaçant n par (n-1) dans la formule :
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) =        (F2)

En ajoutant 1 dans chaque membre de (F2), on obtient :

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = + 1
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1 + 1) =
+ 1
1 + 2 + 3 + ... + n =
+ 1

En utilisant le résultat de (F1), on obtient :
= + 1

Soit

n(n+1) = (n-1)n + 2
n2 + n = n2 - n + 2
n + n = 2
2 n = 2
n = 1


E
t 1 semble avoir raison .
1 égale presque tous les entiers !

Ben ça alors ! ! !

Bien sûr c'est faux ! Mais où donc est l'erreur ?
Tout semble bien correct !

 

Solution
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Explication 

Pas de panique ! Il y a effectivement escroquerie : il faut se méfier des points de suspension du 1 malin. Ici, ils signifient que l'on écrit tous les entiers compris entre 3 et ... (ce pourrait d'ailleurs entre 1 et ... ).
Ici nous supposons que n est plus grand 3... , la démonstration pourrait être refaite à partir de n=5.

Ainsi nous n'avons pas d'égalité entre
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1
              ET
1 + 2 + 3 + ... n

Oui bien sûr, l'addition est associative, mais écrivons les derniers termes avec l'interprétation
faite ci-dessus des points de suspension :

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + 1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) +(n - 1) + 1
             ET
1 + 2 + 3 + ... + (n - 1 + 1) = 1 + 2 + 3 + ... + n
                                           = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) +(n - 1) + n

Les derniers termes des expressions ci-dessus ne sont pas identiques et l'on voit comment en les égalisant, on a pu obtenir l'égalité fausse de 1 et de n.  

L'erreur est dévoilée !

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