Sello de Navidad con la forma de un pentágono irregular que representa el portal de Belén

  Los pentágonos teseladores (1)

          La teselación de Marjorie Rice
          Marjorie Rice, secreto de construcción  
          La teselación del Cairo
          Observación y pentágono regular

                         

 

  La teselación de Marjorie Rice

      De forma general, no se puede teselar el plano con un pentágono cualquiera, y mucho menos con un pentágono regular.
Sin embargo sí que se puede teselar el plano con algunos pentágonos irregulares en particular. Existen diferentes tipos de teselaciones, actualmente hay conocidas
14 tipos de teselaciones pentagonales  con pentágonos convexos y se ignora si la lista está completa.
Ésta fue descubierta en 1976 por Marjorie Rice. Ama de casa y madre de 5 niños, estaba trabajando sobre su mesa de cocina cuando descubrió numerosas formas geométricas nuevas, que los profesores pensaban que eran imposibles. Después descubrió  58 clases de teselaciones pentagonales, la mayoría desconocidas hasta entonces. Su titulación más elevada era la de un bachillerato de 1939, en el cual sólo había dado un curso de matemáticas generales (fuente: Oh, les Nombres ! Clifford A.Pickover Dunod).

Para teselar el plano, las transformaciones utilizadas son rotaciones de media vuelta (180°) y otras rotaciones, simetrías axiales y translaciones.

      

 
Pentágono de Marjorie Rice, secreto de construcción

Veamos aquí como se construye el motivo de Marjorie Rice. Basta con una regla y un compás.
Para hacer girar el triángulo ACD, basta con volver a llevar el segmento AD al AF con F sobre(OC), y luego terminar el triángulo con AF = CD  y  AG = AC.

Propiedades geométricas de este pentágono  

      Se demuestra fácilmente que este pentágono tiene 4 lados de la misma medida.  
En efecto AC = CB, pues el triángulo ACB, que tiene una altura mediana, es isósceles.
Y como   BC = BD   por construcción,  se tiene que: AC = BC = BD. Después de la rotación del triángulo, nos  volvemos a encontrar con las igualdades : AG = EG = EF = AC = BC = BD.
El triángulo GKF es rectángulo y KE es la mediana relativa a la hipotenusa, así pues: KE = EF = EG  (es el radio del círculo circunscrito al triángulo rectángulo).
Finalmente tenemos las igualdades:

KE = EG = AG = AC 

LLamemos K, E, G, A y C a los ángulos del pentágono. Los otros los escribiremos con 3 letras.
El triángulo KEG es isósceles. Tracemos su altura (EH)
En el triángulo KEH se tiene que:
(K -90°) + E/2 + 90° = 180°, pues K + E/2 = 180°
y finalmente en el pentágono
se tiene que:

2K + E = 360°

El ángulo DCK es de la misma medida que el ángulo C (simetría con respecto a (OC).
y el ángulo G es de la misma medida que el ACD
(rotación de construcción).
Se tiene que: 2C +ACD = 360°
Entonces en el pentágono será:

2C + G = 360°
El pentágono teselador de Marjorie Rice... algunas explicaciones

  

 


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(1)  DAVID WELLS Dictionnaire Penguin des curiosités géométriques éditions Eyrolles