Les quadrilatères 

     

lunar module trapezium

                                    

          Tu vas paver le cadre ci-dessous avec des quadrilatères quelconques. Il doit donc être rempli sans trou ni chevauchement.
Le bouton N te donne un nouveau gabarit de quadrilatère que tu devras positionner autour de celui ou de ceux qui sont déjà placés.
Les boutons fléchés permettent de faire tourner le gabarit.
Quand le gabarit est correctement placé, il est alors fixé à sa place. ATTENTION ! Il faut veiller à laisser le curseur souris dans le cadre.
Quand le fond clair sera complètement rempli avec 15 quadrilatères,
observer le mouvement des quadrilatères autour du premier quadrilatère placé.


Quand le jeu sera terminé, n'hésite pas à observer le pavage de Penrose en bas de cette page.

PLEIN ECRAN


Pour paver le plan avec des quadrilatères quelconques, les transformations utilisées sont des des translations
et des
rotations d'un demi-tour autour du milieu de chacun des côtés.
En chacun des sommets du quadrilatère nous notons que les quatre angles colorés forment un tour complet.
La somme des angles d'un quadrilatère est de 360°.

   

Pavage de Penrose à Helsinki

Cette photo a été prise à Helsinki fin avril 2014 (lors d'un aller vers la Scifest à Joensuu) non loin de la gare SNCF.
Les maçons repavent la rue en utilisant un pavage de Penrose. Superbe !
Les cerfs-volants sont cependant découpés en trois pièces, sans doute pour des raisons techniques.



Les pavages de Penrose présentent une symétrie d'ordre 5 (invariance par rotation d'angle 2 π/5 radian, soit 72 degrés).
Ils ne sont pas périodiques, c'est-à-dire qu'on ne peut les décrire comme un motif répété sur une grille régulière.
Exemple de pavage de Penrose de type P2 avec fléchettes et cerfs volants ICI.

Ils sont cependant quasi-périodiques : tout motif apparaissant dans le pavage réapparaît régulièrement.
Plus généralement toute portion finie du pavage, aussi grande soit-elle, se répète infiniment dans le pavage.
Le second type présenté ci-dessus, ou P2, a pour pièces de base deux quadrilatères, l'un convexe, l'autre concave, connus comme « cerfs-volants » et « fléchettes ».
La figure obtenue au bout de plusieurs itérations laisse déceler une quasi-symétrie d'ordre 5.
On montre que la proportion entre le nombre de cerfs-volants et celui de fléchettes tend vers le nombre d'or :
.

Pour en savoir plus sur les pavages de Penrose allez ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_de_Penrose



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