Proportionnalité
et
Règle de trois.



Petit problème
4 crayons coûtent 2€42.
Combien coûtent 14 crayons ?

Ce petit exercice relève du programme du cycle 3.
C'est-à-dire qu'un élève d'environ 10 ou 11 ans doit savoir le résoudre.
Les programmes de 2008, insistent d'ailleurs sur la procédure de la REGLE de TROIS pour le solutionner.
Pourtant, quelques personnes bien diplômées ont renoncé et n'ont pas compris la solution proposée avec le produit
en croix, efficace sans doute MAIS beaucoup trop mécanique et ne reflétant pas bien la relation de proportionnalité.

Alors facile la REGLE de TROIS ? Pas si elle est utilisée mécaniquement sans compréhension.
Pourtant, si l'on raisonne étape par étape, linéairement en passant par 1, alors l'exercice se révèle élémentaire.

Nous allons voir plusieurs façons de résoudre ce petit calcul.

-> Le produit en croix : trop mécanique, efficace sans doute MAIS
ne permet pas de comprendre la proportionnalité.
Cette procédure ne me semble pas intéressante à l'école élémentaire.
C'est seulement une procédure de vérification.
4
2,42
14
?
Il faut trouver un nombre qui multiplié par 4 donnera le produit de 14 par 2,42.
C'est à dire
14 x 2,42 = 4 x ?
soit 33,88 = 4 x ?
Le résultat cherché est égal à 33,88€ divisé par 4 soit : 8,47€.

Cette méthode donne souvent des résultats catastrophiques car les élèves
l'appliquent mécaniquement dans des situations qui ne sont pas de proportionnalité !
Voir Salim et le bijoutier.
Mieux vaut leur apprendre à réfléchir et raisonner !

-> Passage par 1 puis par 14.
On utilise ici les propriétés de linéarité multiplicative.
.4 crayons coûtent 2,42€
.1 crayon coûte 4 fois moins cher donc 2,44€ : 4 = 0,605€.
.14 crayons coûtent on obtient14 fois plus donc 0,605 € x 14 = 8,47€.

Ce type de raisonnement détaillé était recommandé jusqu'en 2007.
Il permet de bien comprendre la proportionnalité et ne pose pas de difficulté de compréhension.


En réalité, il s'agit de la REGLE de TROIS bien comprise et non mécanisée.
On raisonne à chaque étape.
Petit inconvénient : on effectue d'abord la division qui ne tombe 'pas toujours juste'.
Aussi a-ton tendance à effectuer d'emblée la multiplication, puis la division.
Mais les opérations perdent alors du sens...
Et voilà comment la fameuse
REGLE de TROIS provoque tant de difficultés
lorsqu'elle est apprise trop mécaniquement  !

-> Passage par 2 puis par 7 fois 2 = 14.
On utilise les propriétés de linéarité multiplicative.
Ici, le résultat se calcule mentalement.
.4 crayons coûtent 2,42€
.2 crayons coûtent deux fois moins soit 1,21€.
.14 crayons valent 7 fois plus soit 7x1,21€ qui donnent 8,47€.

Ce type de raisonnement était recommandé jusqu'en 2007.
Il permet de bien comprendre la proportionnalité.

-> Passage par 1 puis par 10, puis addition du prix de 10 et de 4 crayons.
On utilise ici les propriétés de linéarité additive et multiplicative.
.4 crayons coûtent 2,42€
.En euros, 1 crayon coûte 4 fois moins cher donc 2,42 : 4 = 0,605.
Pour 10 crayons on obtient 6,05 €
.Enfin 14 crayons coûtent le prix le 10 plus le prix de 4 crayons soit :
6,05 + 2,42 = 8,47.
14 crayons coûtent
8,47€.
Ce type de raisonnement était recommandé jusqu'en 2007.
Il permet de bien comprendre la proportionnalité.


Autre petit problème plus facile...

Cahier d'évaluation CM2, 2011 Voir vidéo de juin 2011.
Aïe Aïe ! ! !


"Dix objets identiques coûtent 22€. Combien coûtent quinze de ces objets ?".

Solution très simple sans passer par la règle de trois :
15 = 10 + 5.
Il suffit donc d'ajouter mentalement le prix des 10 objets et
celui de 5 objets soit la moitié de 22€ c'est à dire 11€.
22 + 11 = 33.

Prix des 15 objets : 33€

CONCLUSION
R
aisonnons proportionnellement et comprenons les calculs avant d'utiliser des mécanismes automatiques non maîtrisés !

Un peu de bon sens

Voici la définition des règles de trois donnée dans un ouvrage de 1910,
Cours supérieur 11 à 13 ans par P.Leyssenne Arithmétique :

"On appelle règles de trois des questions qui peuvent se résoudre au moyen de proportions dans chacune desquelles trois termes sont connus.
De là ce nom de règles de trois qui est resté pour ces questions, quoiqu'on puisse les résoudre aussi et plus facilement
par la méthode de réduction à l'unité, évoquée dans les programmes."

Animation
Voici avec l'animation ci-dessous, de quoi s'exercer en coloriant des secteurs.
Une
calculette est proposée pour rester concentré sur le raisonnement.
Diverses procédures peuvent être utilisées. A chacun de trouver celle qui lui convient le mieux.
Pourtant à la base, il s'agit toujours d'exercices de REGLE de TROIS.

Sur la gauche de l'animation un polygone est découpé en un certain nombre de secteurs.
Ces secteurs sont composés de triangles isocèles que l'on a coloriés.

En tenant compte des informations données pour l'une des zones coloriées,
il faut donner le nombre d'unités nécessaires pour colorier les autres

Calculette ICI.

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Mr Xavier Darcos Ministre de l'Education Nationale en 2008,
a déclaré ne pas savoir résoudre ce problème des crayons,
alors qu'on demande de le maîtriser en cycle 3 : proportionnalité et règle de trois sont au programme du cycle 3