Le triangle de Pascal (1)


                                                                                              

Ce triangle de Pascal a de merveilleuses propriétés.
En voici quelques unes :

 

L'escalier :  

 

 

 

 

Sur les bords,
il n'y a que des
1
jusqu'en bas.
Puis à
côté c'est la suite
des nombres
1, 2, 3, 4...
Ensuite chaque nombre
est la somme des deux du dessus.

La somme des deux du dessus

  

 

  Un véritable ordinateur !

La somme des entiers
Si tu veux facilement connaître la somme des six entiers naturels
de 1 à 6 sans te fatiguer alors c'est très facile.
Prends la troisième
diagonale ici dessinée en vert et va jusqu'au sixième nombre,
il te donnera le résultat. Ici, c'est
21.
La somme des sept entiers naturels de 1 à 7 donnera le septième nombre
de cette diagonale soit 28.
La somme des entiers de 1 à 8 sera le huitième nombre soit 36 etc.

Chaque diagonale est un ordinateur

Les droites et les points
Si tu veux connaître le nombre de droites tracées avec des points dont 3 ne sont jamais alignés, c'est très simple avec cette troisième diagonale.
     Avec 2 points : 1 droite.
     Avec 3 points :
3 droites.
     Avec 4 points :
6 droites.
Elle te donne aussi le nombre de poignées de mains échangées entre des personnes. Essaie...

Choisir 3 personnes parmi...
Si tu veux connaître le nombre de façons de choisir 3 personnes parmi un nombre quelconque, regarde la diagonale rose.
     Il y a 1 possiblité parmi 3 personnes.
     Il y a
4 possiblités parmi 4 personnes.
     Il y a
10 possiblités parmi 5 personnes.
     Il y a
20 possiblités parmi 6 personnes...

Dans la diagonale suivante on a les résultats pour 4 personnes...
     D'abord 4 parmi 4, puis parmi 5
Et tu peux toujours continuer...

Ce triangle est très utile aux probabilités.   

Le binôme de Newton
Très pratique pour calculer les puissances de polynômes...
la 6ème ligne donne les coefficients de (a+b)5 : La ligne 5 donne les combinaisons de 0 à 4 dans 4

(a+b)5 = 1 a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + 1 b5
et
(1+1)5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1

Les coefficients de (a+b)n sont donnés par la (n+1)ième ligne et la somme des nombres de chaque ligne est une puissance de 2 !

 

Autres exemples (on retrouve ainsi les identités remarquables)

(a+b)2= 1 a2 + 2 ab + 1 b2
(a+b)3 = 1 a3+ 3 a2b + 3 ab2 + 1 b3
(a+b)4 = 1 a4+ 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1 b4

 

C'est magique !

              Une MERVEILLE ce triangle de Pascal !
              Bien d'autres choses restent à découvrir encore ! 
              Voir aussi les chemins de Pascal


                   
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(1) Blaise Pascal Savant mathématicien physicien et philosophe français (Clermont-Ferrand 1623 - Paris 1662).
Il conçut entre autres une machine arithmétique dite machine de Pascal capable d'effectuer les quatre opérations
qui lui valut immédiatement une grande célébrité.