Jeu de billes sur une rangée

variante du jeu des quilles de Kayles illustré par H.E. Dudeney en 1878


Le jeu (avec Diophante.fr)

On répartit des billes sur une même rangée de façon aléatoire.

Par exemple :
une seule bille dans la première case, une case vide et onze autres billes qui sont accolées les unes aux autres dans les cases restantes.

Deux joueurs jouent à tour de rôle. Chacun peut enlever une bille ou bien deux billes adjacentes (sans case qui les sépare).
Dans le jeu Classique, le GAGNANT est celui qui supprime la dernière bille ou bien les deux dernières billes adjacentes.
Dans la version dite "Misère" , le PERDANT est celui qui enlève la dernière bille.

Existe-t-il une stratégie gagnante ? Si oui le premier joueur est-il gagnant ?

Dans l'animation suivante

-la première partie impose la disposition suivante : 1 bille, une case vide puis 11billes ;
-la deuxième partie donne la disposition : 1 bille, une case vide, 2 billes, une case vide, 3 billes, une case vide et enfin 4 billes.
Les configurations suivantes seront aléatoires.

Pour jouer :

- Choisir la version Classique ou Misère du jeu en cochant la case adéquate.
- Choisir celui qui commence. Un clic sur Toi ou Ordi lance le jeu immédiatement.

- Pour enlever une bille, il suffit de la cliquer.
   Pour en supprimer une deuxième, attendre que la première ait disparu.
- Cliquer le bouton Jeu Ordi pour activer le jeu de l'ordinateur.

Si éventuellement vous avez demandé l'AIDE proposée au début, celle-ci sera visible en glissant la souris sur le bouton AIDE.

ATTENTION l'ordinateur utilise une stratégie efficace et s'il joue en premier, le bouton AIDE sera sans secours efficace.

Observer le jeu de l'ordinateur et découvrir sa procédure.



Le curseur en bas à droite de l'animation permet de modifier la vitesse de disparition des billes.



PLEIN ECRAN


Analyse du jeu : comment gagner

Ce jeu rappelle le jeu de Marienbad simple ou généralisé (si l'on considère chaque paquet de billes adjacentes, comme une rangée d'allumettes).
Cependant la différence essentielle réside dans le fait qu'on ne peut prendre ici qu'une bille ou deux billes adjacentes.
C'est donc un peu plus compliqué.

La stratégie utilisée consiste à repérer le nombre de billes adjacentes de chaque paquet.
Chacun de ces nombres est transformé avec la table suivante (les Grundy Nimbers) :

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
1
4
3
2
1
4
2
6
4
1



Une fois obtenus les correspondances des nombres avec la deuxième ligne, les écrire en base deux.
Ex : 9 --> 4 --> 100

Les nombres binaires sont éventuellement complétés avec des zéros à gauche de façon à ce qu'ils aient tous la même longueur.
Nous additionnons ces nombres binaires avec la NIM-addition, ainsi définie :
0+0 =0 ; 1+1 = 0; 1+0=1 ; 0+1=1.

Il faut trouver une situation qui annulera ce résultat avec les nouveaux paquets.
En effet une situation avec Nim-addition nulle donne toujours une situation avec Nim-addtion non nulle GAGNANTE.


La différence entre la version Classique et la version Misère intervient seulement lors des derniers coups :
on prend ou on ne prend pas la (ou les) denrière(s) bille(s).

Il suffit à la fin de choisir entre entre 1 ou 2 billes : en effet dans une situation gagnante on a le choix.

 

Les situations proposées au départ

1°) Exemple avec la première partie : 1 bille, un vide, 11 billes.
un paquet de 1 --> 1 qui s'écrit 1 en binaire.
un paquet de 11 --> 6 qui s'écrit 110 en binaire.
La Nim-addition de 1 et 100 donne 001+110=111.
Situation non nulle gagnante.

On peut donc proposer la situation : supprimer la bille colonne 6) qui laissera 1 bille, un vide, 3 billes, un vide puis 7 billes.
un paquet de 1 --> 1 qui s'écrit 1 en binaire.
un paquet de 3 --> 3 qui s'écrit 11 en binaire.
un paquet de 7 --> 2 qui s'écrit 10 en binaire.
La Nim-addition donne 01+11+10 = 00

On a transformé la situation proposée en situation nulle PERDANTE pour l'adversaire.

Le premier coup est ici GAGNANT.



2°) Exemple avec la deuxième partie : 1 bille, un vide, 2 billes, un vide, 3 billes, un vide, 4 billes.
un paquet de 1 --> 1 qui s'écrit 1 en binaire.
un paquet de 2 --> 2 qui s'écrit 10 en binaire.
un paquet de 3 --> 3 qui s'écrit 11 en binaire.
un paquet de 4 --> 1 qui s'écrit 1 en binaire.
La Nim-addition de 1 et 100 donne 01+10+11+1=01.
Situation non nulle gagnante.

On peut donc proposer la situation : supprimer deux billes à partir de la colonne 11,
qui laissera des paquets de 1 bille, 2 billes, 3 billes, 1 bille et 1 bille.
un paquet de 1 --> 1 qui s'écrit 1 en binaire.
un paquet de 2 --> 2 qui s'écrit 10 en binaire.
un paquet de 3 --> 3 qui s'écrit 11 en binaire.
un paquet de 1 --> 1 qui s'écrit 1 en binaire.
un paquet de 1 --> 1 qui s'écrit 1 en binaire.
La Nim-addition donne 01+10+11+01+01 = 00.

On a transformé la situation proposée en situation nulle PERDANTE pour l'adversaire.
Ce n'est d'ailleurs pas la seule solution (voir l'AIDE).
Le premier coup est là aussi GAGNANT.

 


Retrouvez les explications complètes, avec Diopnante ICI :
http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/logique/e4-jeux-de-strategie/3695-e434-deux-parties-de-billes


Vous trouverez une analyse complète (en anglais) de ce jeu, inventé par Henry Ernest Dudeney (1857-1930) et autres jeux de Nim ICI :
http://www.numericana.com/answer/games.htm#kaylesorg


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