Les grenouilles Le jeu
Solution
Analyse

"Un mathématicien est quelqu'un qui prend une tasse de café et la tourne en théorie."
Paul Erdös




Le jeu
Ce jeu est composé d'un casier et de pions (les grenouilles) : autant de pions verts que de rouges.
Les pions verts avancent vers la gauche et les rouges avancent vers la droite.
Chacun peut sauter par dessus un pion de couleur opposée vers une case libre,
ou bien avancer d'un pas vers une case libre, mais toujours dans le sens imposé à sa couleur.
Le but du jeu consiste à intervertir les pions rouges et les pions verts.
Entrer tout d'abord le nombre de pions de chaque couleur. Régler la vitesse de déplacement de chaque pion.
Ensuite pour jouer, il suffit de cliquer sur un pion valide. A vos chronos !

PLEIN ECRAN

Solution
Ci-dessous entrer le nombre de pions de chaque couleur,
régler la vitesse de déplacement des pions et observer le déroulement automatique du jeu.
Trouver la stratégie utilisée pour ne pas être bloqué.

PLEIN ECRAN

Analyse
Il y a deux entrées possibles pour le jeu : ouverture sur les verts ou bien sur les rouges.
Un tirage au sort provoque l'une ou l'autre entrée dans le jeu ci-dessus.
Nous pouvons noter qu'à chaque configuration, il y a au plus deux coups possibles : un pour chaque couleur au mieux.
Nous noterons donc successivement la couleur de chaque coup joué.
Pour 3 pions de chaque côté, nous obtenons en démarrant par le vert :
vert rouge rouge vert vert vert rouge rouge rouge vert vert vert rouge rouge vert
Nous avons des séquences alternées de verts et de rouges en nombre croissant,
une séquence centrale puis une séquence symétrique de la première.
En jouant on notera qu'on ne doit pas placer deux couleurs identiques côte à côte.
Le nombre de coups joués est ici : (1 + 2 + 3) + 3 + ( 3 + 2 + 1) = 15
Pour n pions de chaque côté, nous aurons :
(1 + 2 + 3 + ... n) + n + (n+ ... + 3 + 2 + 1) = n (n+1) / 2 + n + n (n+1) / 2
Pour ces derniers résultats voir la page escaliers de nombres.
Le résultat devient :
n (n+1) + n soit n (n+2) coups.


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