Archimède π, euréka ! (1)

WANTED π


Archimède a démontré de nombreux résultats :
http://remacle.org/bloodwolf/erudits/archimede/table.htm

Et π en musique ICI :
https://www.youtube.com/watch?v=OMq9he-5HUU



Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages !
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
8 9 7 9
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
3 2 3 8 4 6 2 6
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.
4 3 3 8 3 2 7 9
Tirez circonférence au diamètre etcetera.
5 0 2 8 8

texte cité par BEUTEL 1913 

Euclide, Archimède, Appolonius, Viète et bien d'autres se sont attaqués au calcul du développement décimal du nombre π . Ils ont voulu essayer de découvrir une éventuelle périodicité dans l'écriture des décimales d'où la rationalité de π qui en résulterait. Cette préoccupation fut abandonnée en 1768 lorsque Lambert démontra l'irrationalité du nombre π.
On a ensuite recherché si la répartition des chiffres était ou non aléatoire. Le calcul de
π fait en 1967 avec 500 000 décimales a montré que la suite des décimales est une "excellente " suite de chiffres aléatoires. Cependant nous n'avons aucune certitude.
Nous augmentons la probabilité... Nous connaissons aujourd'hui un milliard de décimales.
En 1882 le mathématicien Lindemann démontra qu'il était impossible de construire géométriquement un carré dont l'aire serait égale à celle d'un cercle donné quelconque. (L'impossibilité de la quadrature du cercle)
Il démontra en fait que π est un nombre transcendant.

Archimède et l'aire du disque

Les travaux d'Archimède sur le calcul des aires et des volumes constituent l'apogée de la géométrie alexandrine. Il cherche une approximation de π, c'est-à-dire du rapport entre la circonférence et le diamètre du cercle (ce rapport n'était pas encore connu sous l'appellation π). Il commence par démontrer que l'aire du disque est égale à l'aire du triangle ayant la circonférence du cercle comme base et le rayon comme hauteur.
Pour trouver la circonférence, il inscrit dans le cercle des polygones réguliers à un nombre croissant de côtés ( il s'arrête à 96 côtés) et calcule leurs périmètres. Il utilise les polygones circonscrits et détermine la valeur d
e π par l'encadrement :
            3 + 10 / 71 <
π < 3 + 1/ 7.

Voici les étapes du raisonnement d'Archimède. Il fut le premier à trouver l'aire d'un disque lorsque l'on connaît le périmètre du cercle qui le délimite :
PLEIN ECRAN

Le disque est découpé en de nombreux triangles isocèles (12 ici).  Lorsque le nombre de triangles augmente, la hauteur de chacun devient presque égale au rayon r du cercle et la base de la figure obtenue est presque égale au périmètre du cercle : 2 π r.
Lorsque l'on déplace le sommet de chaque triangle selon une ligne parallèle à la base, on ne change pas son aire.
Avec un nombre infini de triangles, on obtient le résultat d'Archimède.

 

 

Autre animation

Où le disque se transforme en parallélogramme. 
PLEIN ECRAN

 

 Archimède... π , euréka...

Achimède ( environ 287-212 avant notre ère) est considéré avec Euclide comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité. Il fit un voyage essentiel en Egypte à Alexandrie où il a rencontré les grands élèves de l'école euclidienne notamment Eratosthène.
Sa contribution aux mathématiques concerne aussi bien l'arithmétique (expression des grands nombres) que la géométrie.
L'étude du cercle amène Archimède à donner une approximation de π.
Pour cela,
il inscrit et circonscrit au cercle un polygone régulier de quatre-vingt-seize côtés, ce qui lui donne l'encadrement
3 + 10 / 71 <
π < 3 + 1/ 7


Le calcul de la longueur du côté du polygone régulier revient à dresser une table des sinus et nécessite un algorithme de calcul de racines carrées.
Archimède donne alors la proposition suivante :
"L'aire d'un cercle est égale à celle d'un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon du cercle et l'autre côté de l'angle droit à la circonférence du même cercle."
C'est ce que nous avons visualisé avec l'animation ci-dessus.


Voir aussi :

Périmètre du cercle nouvelle fenêtre applet Cabrijava
Les polygones d'Archimède nouvelle fenêtre



Approximation du nombre π en inscrivant des polygones réguliers dans une circonférence de rayon l'unité.
Le calcul réalisé ci-dessous consiste à trouver une approximation de la longueur d'une circonférence de rayon égal à l'unité.
On sait aujourd'hui que le résultat est égal à 2
π.
Nous allons calculer le périmètre de chaque polygone régulier inscrit dans cette circonférence.
Plus le nombre de côtés du polygone est grand et plus l'approximation est bonne.
On travaillera ainsi sur le carré, l'octogone, l'hexadécagone etc.
On double à chaque fois le nombre de côtés.

En utilisant le théorème de Pythagore on montre
- que le côté du carré est égal à la racine carrée de 2,
- que le côté de l'octogone est .
Dans le tableau suivant sont indiquées les valeurs exactes et les approximations du périmètre de chaque polygone puis de sa moitié donnant une approximation de
π.


On retrouve ces différentes valeurs dans l'animation ci-dessous.
Utiliser les flèches du bas (avancer ou reculer pas à pas) pour construire ou effacer un à un les polygones inscrits.

PLEIN ECRAN


Archimède démontra également que la surface latérale du cylindre, dont le disque de base a pour rayon R et dont la hauteur est 2R, a même mesure que la surface de la sphère soit 4 π R2.

Voici comment il effectua son calcul
Sur le schéma ci-contre, une coupe de la sphère passant par le centre.
Il considère que le segment [BC] et par suite l'arc AB sont extrêmement petits (aujourd'hui, nous dirions infiniment petits) ; si petits qu'il confond le segment [AB] avec l'arc AB.

L'aire latérale du cylindre contenant la sphère s'obtient en multipliant le périmètre du cercle de base par la hauteur de la sphère (c'est-à-dire son diamètre) c
'est 2
πR x 2R = 4 πR2.

La surface de la sphère
s'obtient en sommant les aires des petits rubans
circulaires de longueur 2 π r et d'épaisseur le petit arc AB que nous confondons avec le segment [AB] .

donc
en sommant S( AB x 2 πr ) = 2 π S AB x r .
Or cos
q = r / R mais aussi
cos
q = BC / AB (les deux angles en B et en O sont égaux, car leurs côtés sont perpendiculaires deux à deux).
On a donc r / R
= BC / AB.
On déduit r x AB =
R x BC
Finalement
2 π S (AB x r) = 2 π S( BC x R) = 2 π R S BC = 4
π R 2.


Aujourd'hui nous utilisons le calcul intégral, par exemple :
l'arc AB est
R dq,   et   r = R cosq   donc   dS = 2 π r R dq = 2 π R² cosq

et l'on obtient :

Archimède avait observé que toute sphère vaut 4 cônes ayant pour base son grand cercle et pour hauteur son rayon. Il lui est donc venu l'idée que toute sphère vaut quatre grands cercles de la sphère donc 4 π R2. Il montra ainsi que "Toute sphère a un volume égal à celui d'un cône ayant pour base la surface de la sphère et pour hauteur le rayon." donc 4/3 π R3.
En fait Archimède utilisait des procédés précurseurs de notre calcul intégral actuel. Il montra aussi que le volume de la sphère remplit les deux-tiers du cylindre circonscrit.



Une décomposition de la sphère... avec des petites pyramides

PLEIN ECRAN

Il reste toutefois à comprendre où est passée la différence entre les bases planes des petites pyramides et les surfaces courbes correspondantes sur la sphère.
Aujourd'hui on utilise plus rigoureusement le calcul intégral :


Plutarque écrivit qu'il était si obsédé par la géométrie qu'il en oubliait de manger et de boire, et qu'il fallait l'obliger à prendre un bain de temps en temps.

A
rchimède était tellement satisfait de ses travaux sur la sphère et le cylindre qu'il exprima le vœu que sa tombe portât la représentation géométrique d'une sphère inscrite dans un cylindre, vœu que combla le général Marcellus.
Cicéron prétendit avoir retrouvé la tombe abandonnée d'Archimède grâce à cette figure.

Il travailla également l'ellipse, la parabole la spirale portant son nom, les volumes définis par des quadriques...
Voir aussi la méthode de Monte Carlo..

Il fut également un grand ingénieur.
Voici une anecdote...
(2) "Une question proposée par le roi Hieron occasionna les découvertes hydrostatiques d'Archimède ; ce Prince avait fait remettre à un orfèvre une certaine quantité d'or pour en faire une couronne, mais l'Artiste infidèle retint une partie de cet or, et lui substitua un égal poids d'argent. On remarqua la fraude, et comme on ne voulait pas gâter un ouvrage qui était d'ailleurs d'un travail exquis, Archimède fut consulté sur le moyen de découvrir la quantité d'argent substituée à l'or. Il y songea, et voilà, dit-on, qu'étant au bain la solution du problème se présenta à lui tout d'un coup, il en sortit tout nu en criant eurhka eurhka, j'ai trouvé, j'ai trouvé -mot devenu célèbre depuis ce temps"

On trouve alors dans le Traité des corps flottants :
"Les grandeurs plus denses qu'un fluide abandonnées dans ce fluide sont portées vers le bas jusqu'à ce qu'elles soient au fond ; et elles sont allégées, dans le fluide, d'un poids du volume de fluide équivalent au volume de la grandeur solide "

C'est le principe d'Archimède connu sous la forme :
"Tout corps plongé dans un fluide éprouve une poussée verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du fluide qu'il déplace et appliquée au centre de gravité du fluide déplacé, ou centre de poussée." 

En utilisant ce principe on peut s'amuser à faire flotter un savon dans son bain. Il suffit de l'avoir placé environ une minute dans un four à micro ondes.
En effet, dans le four à micro ondes le volume du savon augmente car les bulles d'air emprisonnées à l'intérieur gonflent et le déforment.
Sa masse reste identique mais son volume croît. Il déplace plus d'eau dans la baignoire, ce qui augmente la poussée d'Archimède... et il peut flotter.


Les travaux d'Archimède en physique sont très variés, puisqu'ils concernent la statique, la mécanique, l'hydrostatique et l'optique.
Par exemple, il est renommé pour sa découverte des lois du levier, proclamant :
"Donnez-moi un point d'appui et je soulèverai le monde".
La richesse de ses travaux en fait certainement le plus grand savant de l'Antiquité.

Dans Les grands mathématiciens de E.T.Bell Payot 1950, on peut lire :
"Archimède est moderne jusqu'à la moëlle. Lui et Newton se seraient parfaitement compris et, si Archimède était né assez tard, il aurait compris Einstein, Bohr, Heisenberg et Dirac mieux qu'ils se comprennent eux-mêmes"
Plus loin :
" Si les mathématiciens de la Grèce avaient suivi Archimède plutôt qu'Euclide, Platon et Aristote, ils auraient devancé de deux mille ans l'ère des mathématiques modernes"

Le récit de la mort d'Archimède montre sa passion pour ses recherches : il dessinait encore des figures de géométrie au moment de sa mort lors de la prise de Syracuse. Il ne prenait pas soin de se faire connaître alors que Marcellus avait ordonné de l'épargner et fut tué par un soldat.

Déplacer les deux gros points pour modifier le grand cercle de la sphère.
Tirer la sphère rapidement pour la faire tourner,
             
puis laisser la souris sur la sphère.
                

Animation LiveGraphics3D de Martin Kraus


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(1) Sources :
JEAN ITARD Mathématiques et mathématiciens éditions Magnard 1959
Le nombre
Association pour le développement de la culture scientifique (ADCS) Amiens France
EMILE NOEL (entretiens) Le matin des mathématiciens éditions Belin POUR LA SCIENCE
J.L.AUDIRAC Vie et oeuvre des grands mathématiciens éditions Magnard
HAUCHECORNE et SURREAU Des mathématiciens de A à Z éditions ellipses
DAHAN DALMEDICO PEIFFER Une histoire des mathématiques Routes et dédales éditions Points Sciences

JEAN-PAUL DELAHAYE Le fascinant nombre Bibliothèque Pour la Science, Belin.

(2) MONTUCLA, Histoire des mathématiques, 1ère édition, 1758