Moisson et arpentage  en Haute-Egypte
Moisson et arpentage en Haute-Egypte.

Eléments d'Euclide

Quadrature du rectangle, triangle et parallélogramme
Le théorème du papillon
Les parallélogrammes
Le théorème de Pythagore
Le théorème de Thalès


 

A l'époque d'Alexandre le Grand vers -350 avant notre ère, les bords du Nil étaient annuellement fertilisés par les inondations du fleuve. Les agriculteurs devaient retrouver les limites de leurs terres ou du moins retrouver une parcelle d'une superficie équivalente, car le fleuve nourricier détruisait tous les repères. Cette tâche était confiée à des gens qui "mesuraient la terre" : des GEOMETRES (du grec géo pour la terre et metron, mesure). Alexandrie possédait alors la plus grande bibliothèque de l'Antiquité. Le plus grand des mathématiciens vivant à Alexandrie, s'appelait Euclide. Il écrivit le premier ouvrage de Géométrie dont on a gardé les traces : les Eléments d'Euclide. Cet ouvrage comporte 13 livres. On retrouve dans les deux premiers des règles de démonstration qui permettent de dérouler des suites de théorèmes logiquement reliés les uns aux autres. Mais les mathématiciens d'Alexandrie ne se sont pas satisfaits pas de la résolution de ces partages de terres. Ils déroulèrent leur raisonnement hors du domaine pratique, comme un jeu de l'esprit soumis à de nouvelles règles : celles de la logique.

Quadrature du rectangle
On veut construire un carré ayant la même aire qu'un rectangle... cela s'appelle la quadrature du rectangle.

La démonstration d'Euclide mérite attention, admiration et respect. Elle associe la proposition 5 (passage du rectangle vert au gnomon rouge) au théorème de Pythagore. Elle montre comment construire un carré de même aire que celle d'un rectangle.

PLEIN ECRAN

 

Résumé de la démonstration

On place le point I sur la droite (AB) à l'extérieur de [AB] tel que BI=BC.
On trace le demi-cercle de diamètre [AI] extérieur au rectangle ABCD. Soit E le point d'intersection de ce demi-cercle et de la droite (BC). Le carré BEFG de côté [BE] a même aire que le rectangle ABCD.

Quadrature du triangle,quadrature du parallélogramme...
Du triangle au parallélogramme puis du parallélogramme au rectangle ... nous allons prolonger les résultats d'Euclide pour obtenir la quadrature d'un triangle puis d'un parallélogramme. Nous allons construire très simplement un parallélogramme de même aire que le triangle puis un rectangle de même aire que le parallélogramme. Il suffira alors d'utiliser le résultat d'Euclide pour transformer le rectangle en carré.


PLEIN ECRAN

 


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