Vaisseau spatial et nombres entiers

Le problème

Un vaisseau spatial de forme sphérique a une surface et un volume particuliers liés à deux nombres entiers de quatre chiffres :

- son volume exprimé en mètres cubes est égal à un nombre entier de quatre chiffres multiplié par le nombre π.
- son aire exprimée en mètres carrés est égale aussi à un nombre entier de quatre chiffres multiplié par le nombre π.

Quel est le rayon de ce vaisseau spatial sphérique ?



SOLUTION

L'aire d'une sphère est égale à 4πR2.
Le volume d'une sphère est égal à 4/3 πR3.
Un nombre de quatre chiffres est compris entre 1000 et 9999 inclus.

Il faut que 4R2 et 4/3 R3 soient des nombres entiers et par conséquent
R/3
doit être un nombre entier et enfin R doit être un multiple de 3.

Nous avons
1000 * π < 4πR2 < 9999 * π    ET
1000 * π < 4/3 πR3 < 9999 * π

    SOIT en tenant du fait que R est entier :
1000 < 4R2 < 9999           OU       250< R2 < 2500            OU       15 < R < 50 
1000 < 4/3 R3 < 9999       OU       750< R3 < 7500            OU         9 < R < 20.
 

Il s'ensuit que R peut prendre les valeurs 16, 17, 18 ou 19.

Et la seule possibilité donnant R multiple de 3 est R=18.

Le vaisseau spatial a un rayon de 18 mètres.
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