Calculateurs prodiges et racines ne .


 

Problème

Peut-être avez vous eu l'occasion d'observer avec étonnement des calculateurs prodiges...
Je suis moi-même restée perplexe devant une personne qui pouvait très rapidement calculer la racine 1789e exacte d'un nombre de 7000 chiffres. (1)


Par exemple, quelle est la racine 1789e du nombre de 7000 chiffres, suivant ?
3432727367440322050748853540789436082898361519172004111375902491906859631541525691835519107077706399771560210187443499483269681097979225877685410736853158595675605846716982839547997683100097
1033303895648056686367146505567185572704190345571244921619420182571172977091835308439013001064259823908399201398727674432725842780924778057885830353386818472851733304922702343834934704438269
7108979652182456593057917239006201238022851969465569375358727045330513229812299546773134716877673476058967542455829471614305991132263429637558078432349455444976186534350534617768690267733979
1677424799433747803099635863838257132577578155115645309821256699399097157288811656506190884027287113015184313134155301445742047936242419711011866938137584502796994026811300467912663850061447
3913357023283688079556105078035354733173346761122656350725057874443176123645707741274307087073712279417203082056810761886382823329626624986749405718773427075411056135015082499107838757652080
5547815407198671359053266213561488680072874414088031604962799279218835253405825748194403415556934896011861711855076048380493830182046476526488340282231723217669418263714302499502238801785990
5417858143433643167421080658298089112227725666113341778414187451424984399196676924987566652535298706435607023051601802398892360655556363273348251318227740305047533821140527259620478043489839
2794973661972722927823384529420129387567965023423683035978807039986689649462495470448837825223155612342925191843949659410205855909625255300361762514452433314050395187641370401698318309835568
9344518393481439685424655319432347147740007992972275025769700060217564273581287864491903204341779054479872080172627618104381572056260221133834924649984525760122617243721915258074377261868465
1579922336077175658234097682171456979034478988740350308435057326556955427160265298157782501296126635969416205126317321693061857098630702079219244169877272439579765837018650206781063339502667
6531190784035450412241540128167880119969585719242714429012592848957461776921649714249070120920749831702553969914693786325525598805707710438176458697800806059973805490574547997183535962286914
3281066549601692669514603462549563407320544124176063945759906210805210244948232162588301651832995602634765836449717410301928029234491033585584847513378021099363118447725073308915695748407564
8189850506532134336754776173952665106930339892283669474384461580147870903480548550688874758809018809122986047516257615691340868009055497532622719605451508595146708470936755938547146823498184
2563431546287301268189645223548100491242696482987264021865151100161966880017717975802483285263814507787194507353254424258507411410856101204306311483074780424498273985215619352525057395440587
1061000433940381213470650859741957783829835368482681431287845814627323478782450977116708899589623831655682588967557470004340046175714472412461296172474592094442758923310202203762882312765776
5241711934226409684250677579870405736722782876334824037201102573396072242139248968818964623899399891182091715429413558436725725198367717433746550437247338389633454561577207855454870219796427
9185532638606390852932140262819624197221875419494122672723157944036677802008941881083908542169215703092064097851408475072996853823659214196376650220107265032697498374960793440574519577144200
3986418701379804158701232035567226991784604449906664341943555479665521049854070897865155378368470134304145918446705906089950134876096280054378173123099114067262975660743044742290812144837600
7771661093341256130330412593125602617826493965436614562602030789424623785664153083362076473297957167839198401970418821753088844908460233860930219204332553071369434748916372038668581326310597
8620974591848372450472195872147509451452007504216272991147716226434440920877079409891475871545196583169324269453075717370947063431770779284990878635426460037501533988043660822583378929478016
1002346321089638024186510874000121026879976474065689413636437896768621598363002217909258684887732340682921040316755167890850067544974727816460683037624451022837054553515520744967912062770220
4854484099487007273769180382077903637971952743250943793252996332877090006230186006069484392130965354047384415069536962124216704146341619514119195045069682156652906262481232869361579370145271
1206996959581623483958066197158124527494820975041528328561454565172281590126505702363817424744353818540690038034786620690766615636727195625545758745990325132162718822716995131167106694197786
7585278313363117881016797907359066205521877966236324174962349860309468611521841078661417585536326198077536434205092537516917979712768891502440003776196694788101648174784856179828619229664063
8821848751142909385109761887267982091866887706216366716644522093996226530504976753192507009380852678494372346675227333329429821986419616162992732369225027495019219921037064400061776387646896
3638065488742057257605308267799004508459424336140175196133831369745196181181143340543361460954541460814321726964836632106862199896914145123483898098753935473394868929220759175610335846549193
7632356535173716673890950190101019619709383023615568561577170743091836372439107739081582466819920015838659993678828101927048410092745975485088128331715558557845349578176872114407514075094888
2015985069626572232502130099027345324066667439952639494048435022357710368542232450687369060830999074390646526071178312088092126127907061284346265961580064544023329157684851202120507305301673
3053326425679217611758046419391191249157279626867593617810219571607800707473846536132125762699191757428768419050871438373617319421141891981240811951093139939608232615250427180657282009121891
8702019461583211027764269131179508336780365347702149559990851866398936035523811500516230908569077039408743437301911186460791525981976022228050876049552717337098811497004456735216268766722666
0653892671452411051726495798476540404230038511214891729170128377043518610329625435581859985077602427686637592415581501644118092423340058309562618185434464029167118869200023996007433868601053
8752691009634427947680067824881122274721986450202924801954001909288983381131341717173520180355936742289841286385625387835278688487671110978912684776613075288382310285462038577318986953598798
5536608771179832273342061001517310939303983661457458057549460170524263390361941403751052974001864576591111626703165987628626188401722843466304330442022807129040787147253622815810609216934762
0056436720328669608192083521016565933324484482579273784511153639515974262822857712515974202852356866225911058801527234565426595581253952091085194735202536541026620459582331191971747346584742
3972153602743837312025566154521377973700268005426557668095086745522825647695526213037901208981189190419009578282007779951028742066484168816600244729736249941874695079612946581236706795864675
2247082491776668459012763699613679180541324670767482210724866038689133809822837246947150631196685627108011489436370706884243837876965915216594619765086021827655102845046054522084737737262588
8123631130237305591792065733024625733809748075102832872899421509888325768488104769613970496829785129959254136205456186547613884754997323398865559023636579352576



Plusieurs essais avec différents nombres aboutissaient à un calcul exact.
Enfin... on pouvait le supposer car nos calculatrices ne permettent pas de vérifier un tel calcul.
Cependant un ordinateur bien programmé peut donner le résultat exact.


Question 1
Le calculateur est-il vraiment prodigieux ?
Sinon comment procède-t-il ?

Question 2
Un peu plus compliquée sera l'extraction de la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres.
Cette fois, paradoxalement, il faudrait un très grand entraînement.

Pourtant, il est très facile de déterminer le premier chiffre et le dernier chiffre de la racine treizième d'un nombre de 100 chiffres.
Essayer de trouver pourquoi.

A vous
Pour analyser les situations, j'ai réalisé l'animation suivante qui permet d'élever un nombre à une grande puissance.
J'ai toutefois limité la taille des nombres pour que cela reste assez rapide.

Essayer de comprendre comment procède le calculateur en observant les résultats des calculs.

Et... jouez vous-même au calculateur prodige.

Chacun est capable de trouver les résultats demandés.


ANIMATION

Ci-dessous,
-entrer le nombre n à élever à une puissance k ;
-entrer ensuite l'exposant k ;
-cliquer ensuite sur le bouton Calculer.

Si l'exposant est grand, le calcul peut prendre quelques secondes, donc un petit peu de PATIENCE Merci....

Sont affichés, le résultat ainsi que son nombre de chiffres.

Observer, analyser et conclure.

NB :
Elever un nombre à la puissance 5, c'est le multiplier 4 fois par lui-même :
25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2
-élever un nombre à une puissance k, c'est le multiplier (k-1) fois par lui-même.

Extraire la racine n
e d'un nombre A, c'est donc trouver le nombre qui multiplié (n-1) fois par lui-même donne ce nombre A.


SOLUTION


Question 1
Racine
1789e exacte d'un nombre de 7000 chiffres

En élevant les nombres à un chiffre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 à la puissance 1789, on peut constater que le dernier chiffre du résultat est respectivement dans le même ordre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
D'ailleurs on retrouve ce résultat pour tout puissance de la forme 4k+1, c'est à dire un multiple de 4 plus 1. Cela se démontre facilement.
Il s'ensuit que si on élève à la puissance 1789, un nombre qui se termine par le chiffre u, le résultat se terminera par le chiffre u.

Le dernier chiffre du résultat nous donne donc le chiffre des unités du nombre cherché.

Ce n'est pas suffisant.
MAIS une exploration avec l'animation ci-dessus, nous montre que les seuls nombres entiers qui élevés à la puissance 1789 ont exactement 7000 chiffres sont les entiers de 8171 à 8180 inclus.

Ainsi la connaissance du dernier chiffre est suffisante pour déterminer la racine 1789-ième d'un nombre de 7000 chiffres !
La réponse à la question 1 est donc 8176.

Pas besoin d'être un calculateur prodige, n'est-ce pas ?


Question 2
Racine treizième exacte d'un nombre de 100 chiffres

On note avec l'animation que lorsqu'on élève un nombre n à la puissance 13, pour qu'il ait une longueur de 100 chiffres, il doit être compris entre 41246264 et 49238826, ces deux derniers nombres compris.
Cela fait pas mal de valeurs...
Mais nous connaissons déjà son premier chiffre : 4.

Par ailleurs 13 est un multiple de 4 plus 1 : de la forme 4k+1 avec k entier.

On sait donc que le chiffre des unités du résultat sera identique à celui du nombre n de départ.
On peut donc répondre facilement à la deuxième question du problème.

Exemple :
Le nombre de 100 chiffres :
1002715259991389220213580520278941959813029571323101447715286745214398837014525467601335958758227968,

étant une puissance exacte de 13, sa racine treizième commence par 4 et se termine par 8.
C'est d'ailleurs exactement : 41254868.

 


 Menu trucs  Accueil