Racine carrée

Quel grand nombre !

Je sais que le nombre 427 367 016 542 44* est le carré d'un nombre entier. C'est sûr !
Quel est son dernier chiffre symbolisé ici par une étoile ?

Quelle est la racine carrée de ce nombre ?

Solution

Nous allons utiliser le reste de ce nombre dans la division par 9 (voir preuve par neuf).
427 367 016 542 44 a même reste que 4+2+7+3+6+7+0+1+6+5+4+2+4+4 soit 1.

Le chiffre * a une valeur allant de 0 à 9 et son carré ne peut avoir pour reste dans la division par 9 que 0, 1, 4, 7.

Le nombre complet 427367554036* aura donc pour reste dans la division par 9 l'une des valeurs :
1 (avec 1+ 0 ),
ou 2 (avec 1+ 1),
ou 5 (avec 1+ 4),
ou 8 (avec 1+ 7).

Cependant un carré parfait ne peut avoir comme reste que 0, 1, 4, 7.
La seule valeur acceptable parmi les résultats précédents est donc le reste 1 obtenu avec 1+ 0.
Le reste 0 dans la division par 9 du chiffre * peut être obtenu avec le chiffre 0 ou 9.
Cependant si la racine se terminait par 0, nous aurions deux zéros à la fin du carré.
Ce n'est pas le cas et donc 9 est la seule possibilité pour *.
Le nombre herché est donc 427 367 016 542 449.
On peut en extraire la racine carrée par la méthode manuelle présentée ICI ou par encadrements en utilisant les grandes multplications ICI.
Grossièrement on peut approximer la racine par 20 000 000.
En divisant 427 367 016 542 449 par 20 000 000, on trouve un quotient de 21 368 350.
On recommence en divisant 42 736 7016 542 449 par 2 0 684 175 (moyenne de 20 000 000 et 21 368 350) on trouve 20 661 545.
En divisant 42 736 7016 542 449 par 20 672 860 (moyenne de 2 0684 175 et20 661 545), on trouve 20 672 854.
Enfin on divise 42 736 7016 542 449 par 20 672 857 (moyenne de 20 672 860 et 20 672 854) et on obtient le résultat final.
La racine carrée est : 20 672 857.

FermerA bientôt      Accueil