Lisa chez les Simpson

La question

Effectuer sur une calculette les calculs suivants :
398712 c'est à dire 3987 à la puissance 12 qui signifie 3987 multiplié par lui-même 11 fois de suite ou 3987x3987x3987x3987x3987x3987x3987x3987x3987x3987x3987x3987
= (3987x3987x3987x3987x3987x3987)²
= (3987x3987x3987)4

puis de la même façon : 436512

Effectuer ensuite la somme 398712 + 436512
puis 447212
     
Comparer (398712 + 436512)      ET    447212

Qu'en concluez-vous ?

Pourquoi dans l'émission télévisée 'les Simpson', dans l'épisode 'la dernière invention d'Homer'
Lisa peut-elle affirmer que 178212 + 184112 n'est pas égal à 192212 ?


Vous pouvez vous aider dans la boîte à outils de la page qui permet de calculer les opérations sur les grands nombres ICI.

Solution

Premier exemple : 398712 + 436512     ET     447212
Lorsqu'on effectue les calculs sur une simple calculette les chiffres affichés sont identiques
et donc on peut croire que les deux expressions sont égales :
     398712 + 436512     ET     447212

En effet les dix premiers chiffres affichables sur certaines calculatrices pour chaque expression sont :
6397665634

Et pourtant les deux expressions sont différentes.

Utilisons mon calculateur pour les très grands nombres ici :
il suffit d'utiliser la fonction PRODUIT et de l'exécuter plusieurs fois de suite avec la propriété :
 398712
= (39872)6= ((39872)2)3


On trouve
 398712  = 16134474609751291283496491970515151715346481
Ensuite
436512  = 47842181739947321332739738982639336181640625

Et enfin en utilisant toujours l'outil des grands nombres avec l'addition
nous obtenons pour la somme de ces deux nombres :

 398712 + 436512  = 63976656349698612616236230953154487896987106

Alors que :
447212  = 63976656348486725806862358322168575784124416
                

Nous n'avons pas d'égalité entre
398712 + 436512
   ET    447212
.

En réalité le théorème de Fermat resté sans preuve pendant plus de trois siècles
et enfin démontré par Wiles en 1995 nous aurait évité bien des calculs.
Ce théorème permet d'affirmer que l'égalité précédente est impossible.
Théorème de Fermat
Soit l'équation : xn + yn = zn avec n, x, y et z entiers naturels.
Si n est plus grand que 2, il n'existe aucune solution entière à l'équation précédente
autre que x = 0, y = 0 et z = 0.
Si n vaut 2, il y a une infinité de solutions : les triplets pythagoriciens, comme 3, 4 et 5.

Note
Pierre de Fermat nota vers 1637 qu'il "avait une démonstration merveilleuse, mais que la marge était trop petite pour la contenir",
il ne se doutait pas que cette énigme allait résister pendant plus de trois siècles à la sagacité des mathématiciens.
Une démonstration de plus de 100 pages au problème de Fermat sera finalement publiée en 1995
par le mathématicien britannique Andrew Wiles avec la collaboration de son compatriote Richard Taylor.

****

Deuxième exemple : 178212 + 184112    ET     192212

Cette fois avec un petit peu d'astuce on peut travailler sur le dernier chiffre de lélévation à la puissance de chaque terme :
-le premier se terminera par 6 ;
- le deuxième par 1 et
donc la somme des deux se terminera par 7.

Pour le troisième terme, 192212 se terminera par 6.

Il ne peut donc pas y avoir d'égalité.

Le théorème de Fermat bien entendu prouve également l'impossibilité de l'égalité.

Cependant on n'en est pas loin, nous obtenons ce que nous pourrions appeler une 'quasi' égalité.
Les deux résultats coïncident jusqu'au neuvième chiffre. Ensuite ils diffèrent.

Ainsi, toujours avec les outils cités précédemment nous obtenons :

178212 = 1025397835622633634807550462948226174976

184112 =  1515812422991955541481119495194202351681

et

178212 + 184112 = 2541210258614589176288669958142428526657

Enfin :

192212 = 2541210259314801410819278649643651567616

Les calculatrices aident... mais ne sont pas toujours suffisantes même si elles sont performantes.

 

En savoir plus sur
http://www.lemonde.fr/sciences/article/2013/05/13/la-marge-est-trop-petite-une-forfanterie-feconde_3176464_1650684.html#2WdhGutFwoweJCij.99


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