Chèvre ou Ferrari ?

Le casse-tête

Trois portes : derrière l'une d'entre elles une belle Ferrari et derrière les deux autres deux chèvres : une par porte.
Chèvres et Ferrari sont réparties au hasard.

Le jeu oppose un animateur et un joueur qui désire gagner la Ferrari.

Le joueur est devant trois portes fermées.
Il choisit une porte mais celle-ci ne s'ouvre pas.

Puis l'animateur qui sait ce qu'il y a derrière chaque porte ouvre l'une des deux portes restantes de façon à dévoiler une chèvre.
Le joueur peut ensuite ouvrir sa porte initiale ou bien changer de porte en ouvrant celle qui reste.

Que doit donc faire le joueur : garder la porte initiale ou bien changer de porte ?
Est-ce que le fait de changer de porte augmente, diminue ou bien ne change rien aux chances de gagner la voiture ?
Quelles sont les chances de gagner la voiture ?


Animation pour expérimenter et réfléchir

Pour jouer soi-même

-Cliquer le bouton JOUER.
-Cliquer une porte. La porte cliquée s'éclaire mais ne s'ouvre pas.

-Aussitôt le présentateur (l'ordinateur) ouvre une AUTRE porte derrière laquelle se cache obligatoirement une chèvre.
Il ne peut JAMAIS ouvrir la porte choisie par le joueur.

Alors le joueur DOIT
         -soit garder la porte éclairée initialement choisie en la recliquant,
         -soit en choisir une autre différente aussi de celle du présentateur. La cliquer, elle s'ouvre alors sur une chèvre ou sur la Ferrari.

Le curseur de la vitesse permet de modifier la vitesse d'ouverture des portes.

Multiplier les expériences et réfléchir...


Pour une simulation
-Cliquer le bouton SIMULATION
-Choisir le nombre d'expériences à tenter avec les flèches ou au clavier,
  ATTENTION si on entre le nombre au clavier, frapper ensuite la touche ENTREE pour valider ce nombre ;
-Choisir si on garde ou non la porte initiale ;
-Lancer la simulation en cliquant le bouton GO.



Le curseur de la vitesse permet de modifier la vitesse d'exécution des expériences.

Bon jeu !

PLEIN ECRAN



Solution et explications

Ce problème est connu sous le nom de Problème de Monthy Hall.
A priori presque tout le monde pense qu'il n'y a aucun intérêt à changer de porte
puisque les chances que la voiture soit derrière l'une ou l'autre des deux portes restantes sont égales.

Pourtant c'est faux. Le joueur a intérêt à changer de porte.
D'ailleurs la simulation montre bien que les chances du joueur doublent lorsque celui-ci change de porte.

En effet, le seul cas où le joueur perdra en changeant de porte se produit quand il choisit initialement la porte derrière laquelle est cachée la voiture. Cela ne se produit qu'une fois sur trois. Il gagne dans les deux autres cas, soit deux fois sur trois.

Plus explicitement analysons les cas où le joueur change son choix initial :

Premier cas avec une probabilité de 1 sur 3
-le joueur choisit d'abord la porte de la Ferrari, l'animateur ouvre une autre porte cachant une chèvre.
La porte restante cache forcément une chèvre.
En changeant de porte, le joueur tombe sur cette deuxième chèvre et perd.

Deuxième cas avec une probabilité de 1 sur 3
-le joueur choisit d'abord une porte cachant une chèvre, l'animateur ouvre une autre porte cachant la deuxième chèvre.
La porte restante cache forcément la Ferrari.
En changeant de porte donc en choisissant cette dernière, le joueur dévoile la Ferrari et gagne.

Troisième cas avec une probabilité de 1 sur 3
-le joueur choisit d'abord l'autre porte cachant une chèvre, l'animateur ouvre la deuxième porte cachant une chèvre.
La porte restante cache forcément la Ferrari.
En changeant de porte et en choisissant donc cette porte restante, le joueur dévoile la Ferrari et gagne.

Finalement chacun de ces trois cas a la même probabilité de se produire et
dans deux sur trois de ces cas, le joueur qui change de porte gagne la Ferrari.

Ce résultat repose sur la symétrie des rôles des portes non ouvertes.
Notons aussi que le présentateur n'a aucune liberté dans le choix d'apporter ou non de l'information (il ouvre forcément une porte cachant une chèvre). Ainsi sa volonté d'aider ou de nuire n'a aucun impact.


En abandonnant son choix initial, le joueur double ses chances de gagner la Ferrari !


Ce problème provoqua de nombreuses résistances.
Lorsqu'il fut présenté par Marylin vos Savant dans parade, elle reçoit la réponse suivante du savant Charles Reid professeur à l'université de Floride :
"A l'avenir, je vous suggère de vous procurer et consulter un simple manuel de probabilités avant de tenter de répondre à une question de ce type."
(source :" Réveillez le petit génie qui sommeille en vous ! " de Jérémie Stangroom ).
Le grand mathématicien Hongrois Paul Erdös lui-même, a d'abord convenu que cette solution était fausse et il n'accepta son erreur qu'après l'avoir vérifiée par une simulation sur ordinateur.


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