Le rangement des calissons dans une boîte hexagonale


Le calisson
Le calisson est une délicieuse confiserie provençale faite de fruits confits (le melon par exemple) et d'amandes broyés ensemble.
Le tout nappé de glace royale est posé sur du pain azyme (papier hostie).
Cette friandise est souvent parfumée à la fleur d'oranger. Hum... ;)

Question
Le calisson a la forme d'un losange composé de deux triangles équilatéraux.

Dans l'animation suivante, trois dispositions de calissons sont proposées. Chacune est représentée avec sa propre couleur.


Il existe de très nombreuses façons de disposer les losanges dans l'hexagone afin de le paver complètement.
Il existe cependant une condition à respecter sur les différents calissons pour que le pavage soit possible.

Quelle est cette condition ?
Généraliser au cas où la boîte hexagonale dont les côtés opposés et parallèles mesurent respectivement m, n et p.

Animation
Chacun peut choisir les trois dimensions de la boîte hexagonale grâce aux boutons fléchés.
Si on entre les valaures au clavier penser à les valider avec la touche ENTREE pour qu'elles soient prises en compte.

Après avoir choisi ses valeurs, cliquer le bouton GO.

Les boutons N calisson V, N calisson R, et N calisson O, créent de nouveaux calissons losanges.
Glisser déplacer les calissons avec la souris pour les positionner et les fixer dans l'hexagone.
La grille de la boîte facilite l'accrochage des losanges.

Pour effacer une pièce non fixée (la déplacer d'abord si elle est accrochée) , il suffit de la sélectionner et de cliquer le bouton Effacer.

Le bouton Recommencer réinitialise complètement le jeu.

Bonne expérimentation !

PLEIN ECRAN

Réponse
Pour une boîte hexagonale régulière dont les côtés mesurent 5 de côté, il faut 75 calissons.
Il doit de plus y avoir 25 calissons de chaque sorte.

Si la boîte a des côtés mesurant m, n et p, il faudra mn calisons d'une sorte, mp d'une autre sorte et enfin np calissons de la troisième sorte.

Exemple avec une boîte 2 x 3 x 5 : 


Il faut ici
2 x 3 = 6 calissons verts ;
3 x 5 = 15 calissons rouges et enfin
2 x 5 = 10 calissons jaunes.

Exemple avec une boîte 3 x 4 x 2 : 


Il faut ici
3 x 4 = 12 calissons verts ;
4 x 2 = 8 calissons rouges et enfin
3 x 2 = 6 calissons jaunes.


Exemple avec une boîte 2 x 3 x 2 :
  

Il faut ici
2 x 3 = 6 calissons verts ;
3 x 2 = 6 calissons rouges et enfin
2 x 2 = 4 calissons jaunes.

 


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